3.3 Différence et différence symétrique des ensembles

3.3.1 Différence des ensembles

Soient E et F deux ensembles.
L'ensemble E "moins" l'ensemble F (ou E différence F) est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F et on écrit E\F.
En d'autre terme E\F={x∈E/ x∉F}.

3.3.2 Différence symétrique des ensembles

Soient E et F deux ensembles
La différence symétrique des ensembles E et F est l'ensemble des éléments appartenant soit à E ou soit à F et pas aux deux ensembles à la fois.
En d'autre terme EΔF=(E\F)∪(F\E).

Exemple
Soient E={-1;0;1;2;3;5}
et F={-4;2;5;9}.
E\F = {-1;0;1;3} et F\E={-4;9}
ainsi EΔF={-4;-1;0;1;3;9}.

Remarque
EΔF=(E∪F)\(E∩F).

3.4 Lois de Morgan

3.4.1 Propriété

Soient E ; F et K des ensembles.
E∩(F∪G)=(E∩F)∪(E∩G).
E∪(F∩G)=(E∪F)∩ (E∪G).

Exemple
Résoudre dans IR×IR le système suivant
(x²-1=0 et y=2).

Correction
(x²-1=0 et y=2)⇔(x-1)(x+1) et y=2
⇔ (x=1 ou x=-1) et y=2.
Notons que (ou ≡ ∪) ; (et ≡ ∩).
On applique la lois de Morgan.
(x²-1=0 et y=2) ⇔ (x=1 et y=2) ou (x=-1 et y=2)
et donc S={(1;2);(-1;2)}.

3.4.2 Propriétés

Soient E ; F et K des parties d'un ensemble H.
1) Ē∩E=∅.
2) Ē∪E=H.
3) E∩(F∩G)=(E∩F)∩G.
4) E∪(F∪G)=(E∪F)∪G.

3.5 Produit cartésien

3.5.1 Exemple

Soient E={a;b} et F={1;2;3;4}

Résultat card(E×F)=8=(cardE)×(cardF).
cardH signifie le nombre des éléments de l'ensemble H.

3.5.2 Définition

Soient E et F deux parties d'un ensemble K.
L'ensemble des couples (x;y) tels que x est un élément de E et y est un élément de F est appelé produit cartésien des ensembles E et F et on écrit E×F.
En d'autre terme
E×F={(x;y)∈K²/ x∈E et y∈F}.
Notons que l'ordre est important !
et card(E×F)=cardE × CardF.