Ensembles et applications (6)
Exercice 1 tp
Soit f une application définie de E=]-1;+∞[ vers F=]-∞;2[ comme suit
| f(x) = | 2x |
| x+1 |
Montrer que f est une bijection de E vers F.
Correction
(∀y∈F) (∃!x∈E)/ f(x)=y ?
on a
y∈F ⇒ y<2 ⇒ y≠2.
| y = | 2x | ⇔ 2x = y(x+1) ⇔ x(2-y)=y |
| x+1 |
| ⇒ x = | y | tel que (y≠2) |
| 2-y |
L'élément x est unique
Est ce que x appartient à E ?
On étudie donc le signe de x
| y | -∞ | 0 | 2 | |||
| x | - | 0 | + | || |
Si 0 ≤ y<2 alors x≥0 ainsi x∈E
Et si
y<0 alors x<0 car (2-y>0).
On suppose que x∉E
et cela signifie que
| x = | y | < -1 ⇒ y < -(2-y) ⇒ 0 < -2 |
| 2-y |
et ce n'est pas possible donc
(∀y∈F) (∃!x∈E)/ f(x)=y
alors f est une application bijective définie de E vers F.
Remarque l'application suivante
| F → | E |
| x → | x |
| 2-x |
définie de F vers E est appelée bijection réciproque de la bijection f.
Exercice 2 tp
Soit f une application définie de E=[1;+∞[ vers E comme suit
f(x)=2√(x-1) +x.
Montrer que f est une bijection de E vers E.
Correction
D={x∈IR / x-1≥0}=E
(∀y∈E) (∃!x∈E)/ f(x)=y ?
On a
f(x)=y ⇔ 2√(x-1) +x = y
⇔ (x-1)+2√(x-1)+1 = y
⇔ (√(x-1) + 1)² = y
⇔ |√(x-1) + 1| = √(y) tel que (y≥1>0)
⇔ √(x-1) = √(y)-1≥0 tel que (y≥1)
⇔ x-1 = (√(y)-1)²
⇔ x = (√(y)-1)² + 1
donc l'élément x existe et appartient à E
car (√(y)-1)²+1≥1.
Remarque
L'application x→ (√(x) - 1)² + 1
définie de E vers E est appelée bijection réciproque de la bijection f.