3- الترتيبات والتبديلات

3.1 الترتيبات بتكرار

3.1.1 نشاط 1

كم عدد ممكن تكوينه من رقمين من الارقام التالية 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ?

تصحيح

عدد برقمين مكون من الوحدات والعشرات اذن توجد 5 اختيارات لتحديد رقم الوحدات و 5 اختيارات لتحديد رقم العشرات
وبالتالي حسب المبدا الاساسي للتعداد فان عدد جميع الختيارات الممكنة لتكوين عدد من رقمين
هو 5×5 = 25 = 5²

3.1.2 نشاط 2:

كم عدد ممكن تكوينه من ثلاث ارقام من الارقام التالية 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ?

تصحيح

عدد الاعداد المكونة من ثلاث ارقام
هو 5×5×5=5³=125

3.1.3 تعريف

الترتيبة بتكرار اي (العناصر ليست بالضرورة مختلفة), من p عنصر , p≤n, من بين n عنصر هي وضعية مرتبة من p عنصر

3.1.4 خاصيات

عدد الترتيبات بتكرار من p عنصر من بين n عنصر هو العدد n^p .

3.2 الترتيبات بدون تكرار

3.2.1 نشاط 1

ما هو عدد الامكانيات تكوين الاعداد من رقمين مختلفين من الارقام التالية : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ?

تصحيح

توجد 5 امكانيات لاختيار رقم الوحدات وتبقى 4 امكانيات لاختيار رقم العشرات وباستعمال المبدا الاساسي للتعداد فان عدد الاعداد الممكنة هو
5×4 ونرمز لهذا الجذاء من عوامل طبيعية ومتتابعة بالرمز A²5 اذن A²5=5×4=20

3.2.2 نشاط 2

ما هو عدد الامكانيات تكوين الاعداد من اربعة ارقام مختلفة من الارقام التالية 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ?

تصحيح

توجد 5 امكانيات لاختيار رقم الوحدات و 4 امكانيات لاختيار رقم العشرات و 3 امكانيات لاختيار رقم المئات ويبقى امكانيتين لاختيار رقم الالفات وباستعمال المبدا الاساسي للتعداد فان عدد الاعداد المطلوبة هو
A⁴5 = 5×4×3×2 = 120

3.2.3 تعريف

الترتيبة بدون تكرار (العناصر مختلفة مثنى مثنى ),
من p عنصر , p≤n, من بين n عنصر هي هي وضعية مرتبة مكونة من p عنصر مختلف.

3.2.4 خاصيات

عدد الترتيبات بدون تكرار من p عنصر من بين n عنصر هو A^pn
A^pn = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-p+1) ; ( جذاء p عامل )
نضع A⁰0 = 1 ; A¹1 = 1 ; A⁰n = 1 و A¹n = n

3.2.5 امثلة

A⁴20 =20×19×18×17

3.3 التبديلات

3.3.1 تعريف وخاصية

التبديلة من n
عنصر هي تصنيف او وضعية مرتبة من n عنصر او ترتيبة بدون تكرار ل n عنصر وعدد التبديلات من n عنصر هو n×(n-1)×...2×1 ; (جذاء n عامل ), ونكتب n!

3.3.2 امثلة

1) 5!=4.3.2.1=24
2) 8!=8.7.6.5.4.3.2.1=40320

تمرين

حدد عدد النتائج الممكنة في سباق 100 م الذي يشارك فيه 8 متسابقين

تصحيح

عدد النتائج الممكنة هو 8!= 40320

3.4 تطبيقات : السحب باحلال والسحب بدون احلال

تمارين 1

يوجد في صندوق 4 كرات بيضاء و 3 سوداء وكرتين لونهما اخضر
نسحب بالتتابع وبدون احلال كرتين منة الصندوق
1) احسب cardΩ
2) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين بيضاوين
3) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين خضراوين
4) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين من نقس اللون

تمرين 2

يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء وكرتين لونهما اخضر
نسحب بالتتابع وباحلال كرتين من الصندوق
1) احسب cardΩ
2) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين بيضاوين
3) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين خضراوين
4) احسب عدد الامكانيات سحب كرتين من نفس اللون

4- التأليفات

4.1 تعريف

4.1.1 مثال 1

حدد جميع اجزاء المجموعة E المكونة من عنصرين E={1 ; 2 , 3 , 4 , 5 }

تصحيح

الاجزاء المكونة من عنصرين هي
{1;2} ; {1;3} ; {1;4} ; {1;5} {2;3} ; {2;4} ; {2;5} {3;4} ; {3;5} {4;5}
وعددها هو10 وتسمى تأليفة من عنصرين من بين 5 عناصر

ملاحظة

1) عدد الترتيبات بدون تكرار من عنصرين من بين 5 عناصر هو العدد A²5=5.4=20
2) وعدد التبديلات من عنصرين هو العدد 2!=2.1=2
3) لدينا المتساوية

10 =	20	=	A25
	2		2!

4.1.2 مثال 2

لتكن E مجموعة مكونة من 12 عناصر
تظنن عدد اجزاء E المكونة من 4 عناصر

تصحيح

A412	=	12.11.10.9	=495
4!		24

4.1.3 تعريف

التأليفة من p من بين n عنصر , p≤n, هي مجموعة مكونة من p عنصر من بين n عنصر

4.2 خاصيات

4.2.1 خاصية وتعريف

عدد التأليفات من p عنصر من بين n عنصر هو العدد الذي نرمز له ب C^pn
C^p_n معرف كما يلي

Cpn =	Apn
	p!

4.2.2 امثلة

1) احسب C²₈
2) احسب C⁴₁₀

تصحيح

C28 =	A28	=	8.7	= 28
	2!		2

C410 =	A410
	4!
=	10.9.8.7	= 210
	4.3.2