4- Nombre de combinaisons

4.1 Définition et propriété

4.1.1 Exemple 1

Déterminer les parties de deux éléments de l'ensemble E={1;2;3;4;5}.

Correction
Les parties de deux éléments de E sont {1;2} ; {1;3} ; {1;4} ; {1;5} ; {2;3} ; {2;4} ; {2;5}; {3;4} ; {3;5} ; {4;5}
il en a 10 et sont appelées combinaison de deux éléments parmi 5 éléments.

Remarques
1) Le nombre d'arrangements sans répétitions de 2 éléments parmi 5 éléments

A

2 5

=5x4=20

2) Le nombre de permutations de 2 éléments 2!=2.1=2 et on a l'égalité

10 =	20	=	A	2 5
	2		2!

4.1.2 Exemple 2

Soit E un ensemble de 12 éléments.
Conjecturer le nombre de parties de quatre éléments de E.

Correction

A	4 12	=	12.11.10.9	= 495
4!			24

4.1.3 Définition

Une combinaison de p éléments parmi n élément (avec p≤n) est un ensemble de p éléments parmi n éléments.

4.1.4 Propriété

Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n éléments est

C	p n

et est éfini comme suit

C	p n	=	A	p n
			p!

Exemples
Calculer

C

2 8

et

C

4 10

Correction

C	2 8	=	A	2 8	=	8x7
			2!			2

donc

C

2 8

= 28

C	4 10	=	A	4 10	=	10x9x8x7
			4!			24

donc

C

4 10

= 210

4.2 Propriétés du nombre C^p_n

4.2.1 Propriété

Soient n et p deux entiers naturels tels que p≤n.

C	0 n	=	1		C	1 n	=	n
C	n n	=	1		C	p n	= C	n-p n

C	p n	=	n!
			p!(n-p)!

C

p-1 n

+

C

p n

=

C

p n+1

si p≥1 alors

C	p n	=		n	C	p-1 n-1
				p

4.2.2 Exemples

C	7 9	=	C	9-7 9	=	C	2 9
C	8 12	=	C	12-8 12	=	C	4 12

C	2 4	+	C	3 4
= C	2+1 4+1	=	C	3 5