1- Calcul vectoriel

1.1 Eléments d'un vecteur

1.1.1 Définition et propriétés

Soient A et B deux points distincts dans l'espace 𝔼.
A et B dans cet ordre déterminent un vecteur
noté AB^→=u^→.

La direction de u^→ est la droite (AB).
Le Sens de u^→ est l'orientation du segment [AB].
La Norme de u^→ corresponde à la longueur du segment [AB].
Notons que le vecteur nul est noté par 0^→.
et l'espace vectoriel est noté par 𝕍₃.

Définition
Un vecteur dans l'espace est défini par une direction ; un sens et une norme.
La norme du vecteur u^→ est la distance AB, notée ||u^→||=AB.
A → B

Propriétés
Soit u un vecteur et M un point dans l'espace 𝔼.
1) u^→=O^→ ⇔||u^→||=0.
2) Le vecteur nul O^→ n'a pas de direction.
3) (∀u^→∈𝕍₃)(∃!A∈𝔼): AM^→=u^→.

1.2 Egalitée de deux vecteurs

1.2.1 Définition

On dit que deux vecteurs u^→ et v^→ sont égaux et on écrit u^→=v^→ s'ils ont
1) même direction.
2) même sens.
3) même norme.

Remarque
Deux vecteurs u^→ et v^→ sont donc représentés par des ségments orientés parallèles et de même longueur
u^→=AB^→ et v^→=DC^→.
u^→=v^→ ⇔ (AB)||(DC) et AB=DC.

1.2.2 Propriété

Soient A ; B ; C et D quatre points dans l'espace 𝔼.
AB^→=DC^→ ⇔ ABCD est un parallélogramme.

1.3 Vecteurs opposés

1.3.1 Définition

u^→ et v^→ sont deux vecteurs opposés et on écrit u^→=-v^→ s'ils ont
1) même direction.
2) même norme.
3) de sens opposé.

1.3.2 Exemple

Soient A et B deux points dansl'espace 𝔼.
AB^→=-BC^→.
A → B et A ← B