1.4 Somme et produit de deux vecteurs

1.4.1 Introduction

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
Il existe 3 points A ; B et C tels que
u^→=AB^→ et v^→=BC^→.
Le vecteur AC^→ est donc défini par le segment [AC].

1.4.2 Définition

Soient A ; B et C trois points dans l'espace 𝔼.
La somme de deux vecteurs u^→ et v^→ tels que u^→=AB^→ et v^→=BC^→
est le vecteur AC^→.

1.4.3 Relation de Chasles

Soient A ; B et C trois points dans l'espace 𝔼.
AB^→+BC^→=AC^→.

1.4.4 Produit d’un vecteur par un nombre réel

Soient u^→ un vecteur et k un nombre réel.
Le produit du vecteur u^→ par k est un vecteur v^→ qui a la même direction que u^→ et on écrit v^→=ku^→.

De plus
1) Si k≥0 alors u^→ et v^→ sont de même sens et ||v^→||=k||u^→||.
2) Si k≤0 alors ils ont de sens contraires et ||v^→||=-k||u^→||.

1.5 Opérations sur les vecteurs

1.5.1 Propriétés

u^→ ; v^→ et w^→ sont trois vecteurs de l'espace vectoriel 𝕍₃ et k et t sont deux nombres réels.

1.5.2 Propriété

Soient u^→∈𝕍₃ et t∈IR.
tu^→=0 ⇔ (t=0 ou u^→=O^→).