Mathématiques du secondaire qualifiant

Vecteurs de l'espace (2)

1.4 Somme et produit de deux vecteurs

1.4.1 Introduction

Soient u et v deux vecteurs.
Il existe 3 points A ; B et C tels que
u=AB et v=BC.
Le vecteur AC est donc défini par le segment [AC].

1.4.2 Définition

Soient A ; B et C trois points dans l'espace 𝔼.
La somme de deux vecteurs u et v tels que u=AB et v=BC
est le vecteur AC.

1.4.3 Relation de Chasles

Soient A ; B et C trois points dans l'espace 𝔼.
AB+BC=AC.

B
AC
1.4.4 Produit d’un vecteur par un nombre réel

Soient u un vecteur et k un nombre réel.
Le produit du vecteur u par k est un vecteur v qui a la même direction que u et on écrit v=ku.

De plus
1) Si k≥0 alors u et v sont de même sens et ||v||=k||u||.
2) Si k≤0 alors ils ont de sens contraires et ||v||=-k||u||.

1.5 Opérations sur les vecteurs

1.5.1 Propriétés

u ; v et w sont trois vecteurs de l'espace vectoriel 𝕍3 et k et t sont deux nombres réels.

u+v= v+u
(u+v)+w= u+(v+w)
k(tu)= ktu
k(u+v)= ku+kv
1.u= u
1.5.2 Propriété

Soient u∈𝕍3 et t∈IR.
tu=0 ⇔ (t=0 ou u=O).