Espace analytique (3)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 une droite (D) définie par sa représentation paramétrique suivante
| (D) | x = 2+2t | (t∈ℝ) |
| y = 5t | ||
| z = 1+7t |
Et un plan (P) d'équation cartésienne x+y+z+1=0.
1) Déterminer les équations cartésiennes de la droite (D).
2) Déterminer les deux vecteurs directeurs du plan (P).
3) Etudier la position relative du plan (P) et la droite (D).
4) On considère un plan (Q) définie par sa représentation paramétrique suivante
| Q | x = -t | (t;k∈ℝ) |
| y = t+k | ||
| z = 1+2t-k |
Etudier la position relative des plans (P) et (Q).
Exercice 2 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 un point A(-2;4;-3) et deux vecteurs u→(1;-1;2) ; v→(1;2;3).
Déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par le point A et orienté par les vecteurs u→ et v→.
Correction
(a) On vérifie d'abord que u→ et v→ ne sont pas colinéaires.
| 1 | 1 | = 1.2-(-).1=3≠0 | ||
| -1 | 2 |
donc u→ et v→ ne sont pas colinéaires et donc le plan est bien défini.
(b) Equation du plan P
M(x;y;z)∈P⇔det(AM→;u→;v→)=0
| ⇔ | x+2 | 1 | 1 | = 0 | |
| y-4 | -1 | 2 | |||
| z+3 | 2 | 3 |
⇔
| (x+2) | -1 | 2 | -(y-4) | 1 | 1 | ||
| 2 | 3 | 2 | 3 |
| +(z+3) | 1 | 1 | |
| -1 | 2 |
=-7(x+2)-(y-4)+3(z+3)=0
=-7x-14-y+4+3z+9=0
-7x-y+3z-1=0
et donc l'équation cartésienne du plan (P)
(P): 7x+y-3z+1=0.