Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 les points A(1;0;2); B(1;1;2) et C(-1;1;1).
1) Montrer que A; B; C ne sont pas alignés.
2) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
3) On considère deux plans
(P): 2x+y+2z+1=0.
(Q): x-2y+4z=0.

(a) Montrer que (P) et (Q) se coupent selon une droite qui doit être déterminée.

(b) Etudier la position relative du plan (ABC) et la droite (D).

Correction

1) AB^→(0;1;0) et AC^→(-2;1;-1) sont ils colinéaires ?
c'est à dire existe il un réel k tel que
AC^→=kAB^→
ou encore -2=0k ; 1=1k et -1=0k ?
ou encore -2=0 ; k=1 et -1=0
et ce n'est pas possible
donc AB^→ et AC^→ ne sont pas colinéaires.

Et donc les points A; B et C ne sont pas alignés.
2) A; B et C ne sont pas alignés donc ils déterminent un plan (ABC)
M(x;y;z)∈(ABC)⇔det(AM^→;AB^→;AC^→)=0.

	x-1	0	-2	= 0
	y-0	1	1
	z-2	0	-1

⇔ (x-1)	1	1		-(y)	0	-2
	0	-1			0	-1

+(z-2)	0	-2
	1	1

=-(x-1)-0(y)+2(z-2)=0
alors l'équation cartésienne du plan (ABC) est définie comme suit
x-2z+3=0.
3) (a) on a
(P): 2x+y+2z+1=0 et (Q): x-2y+4z=0
u^→(2;1;2) est un vecteur normal à (P).
v^→(1;-2;4) est un vecteur normal à Q.

Existe il un réel k tel que u^→=kv^→ ?
(2=1.k ; 1=-2k et 2=4k)
⇔ (k=2 ; k=-1÷2=-0,5 et k=0,5)
et ce n'est pas possible
donc u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires
ainsi (P) et (Q) sont sécants et se coupent selon une droite (D).
Pour déterminer (D) on fait comme suit M(x;y;z)∈(D)⇔

{	2x+y+2z+1=0
	x-2y+4z=0

⇔ {	2x+2y+4z+2=0	(1)
	x-2y+4z=0	(2)

pour éliminer z on fait l'opération suivante
(1)-(2) ⇒ x+4y+2=0.
pour éliminer y on fait l'opération suivante
(1)+(2) ⇒ 3x+8z+2=0.

En posant x=t∈IR dans le système

⇔ {	x+4y+2=0	(3)
	3x+8z+2=0	(4)

on obtient

{	x =	t				(t∈IR)
	y =	-1	-	1	t
		2		4
	z =	-1	-	3	t
		4		8

Ce système est une représentation paramétrique de la droite (D).

(b) Position relative du plan (ABC) et la droite (D).

{	x-2z+3=0	(1)				(t∈IR)
	x =	t
	y =	-1	-	1	t
		2		4
	z =	-1	-	3	t
		4		8

en remplaçant les valeurs de x; y et z dans l'équation (1) on obtient t=-2 donc

(ABC)∩(D)={K(-2 ; 0 ;	1	)}
	2