Etude des fonctions numériques (1)
1- Branches infinies et directions asymptotiques
Notons que dans ce tutoriel le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;i→;j→).
1.1 Branches infinies
1.1.1 Définition
Soit f une fonction numérique de variable x
et (C) sa courbe représentative.
Si l'une des coordonnées d'un point de (C)
tend vers ∞ (C'est à dire x→±∞
ou f(x)→±∞) alors (C) admet une branche
infinie.
1.1.2 Asymptotes parallèles aux axes du repère
Soit f une fonction numérique.
| 1) Si | lim a- | f(x) = ±∞ | ou | lim a+ | f(x) = ±∞ |
alors la droite d'équation x=a est une asymptote à la courbe (C) et parallèle à l'axe des ordonnées (Oy).
| 2) Si | lim ±∞ | f(x) = b |
alors la droite d'équation y=b est une asymptote à (C) et parallèle à l'axe (Ox).
Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x |
| x+1 |
et (C) sa courbe représentative dans un repère.
Déterminer les asymptotes à la courbe (C).
Correction
f est définie si x≠-1 donc D=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
(1) On calcule la limite de f en +∞
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
2x | = 2 |
| x |
Donc la droite (D): y=2 est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.
(2) On calcule la limite de f en -∞
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
2x | = 2 |
| x |
donc la droite (D): y=2 est une asymptote à (C) au voisinage de -∞.
(3) On calcule la limite de f en (-1)+
pour cela on étudie le signe de x+1.
| x | +∞ | -1 | +∞ | |||
| x+1 | - | 0 | + |
lim (-1)+ |
f(x) = | -2 | = -∞ |
| 0+ |
donc (D'): x=-1 est une symptote à (C) à droite à -1.
(4) On calcule la limite de f en (-1)-
lim (-1)- |
f(x) | -2 | = +∞ |
| 0- |
donc (D): x=-1 est une asymptote à (C) à gauche à -1.
1.1.4 Asymptote oblique
Propriété 1
Soit f une fonction numérique qui admet une limite infinie en ±∞ et (C) sa courbe représentative.
| Si | lim ±∞ | f(x)-(ax+b) = 0 (a∈IR* et b∈IR) |
alors la droite (D): y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de ±∞.
En d'autre terme (D): y=ax+b est une asymptote oblique à (C) signifie qu'elle existe une fonction h telle que f(x)=ax+b+h(x).
| et | lim ±∞ | h(x) = 0 |