Mathématiques du secondaire qualifiant

Etude des fonctions numériques (2)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =x²+x-1
2x-2

et (C) sa courbe dans un repère (O;i;j).
1) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

lim
1-
f(x)
lim
1+
f(x)

2) Déterminer les asymptotes de (C).
3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
4) Tracer la courbe (C) et résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥0.

Correction

1) D={x∈IR / 2x-2≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
2x
=
lim
-∞
1 x
2

Donc


lim
-∞
f(x) = -∞

On a


lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
2x
=
lim
+∞
1 x
2

donc


lim
+∞
f(x) = +∞

Limite à gauche à 1 et limite à droite à 1.
On étudie le signe de 2x-2 au voisinage de 1.

x -∞ 1 +∞
2x-2 - 0 +

lim
1-
x²+x-1 = 1
2x-2 0-

donc


lim
1-
f(x) = -∞

On a


lim
1+
x²+x-1 = 1
2x-2 0+

donc


lim
1+
f(x) = +∞

2) Asymptotes. On a


lim
1-
f(x) =-∞

donc la droite d'équation x=1 est une asymptote à (C) à gauche à 1.

On a


lim
1+
f(x) =+∞

donc la droite d'équation x=1 est une asymptote à (C) à droite à 1.
On a


lim
-∞
f(x) = -∞

lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
= 1
x 2x²2

lim
-∞
f(x)- 1 x =
lim
-∞
2x-1
2 2x-2
= lim
-∞
2x = 1
2x

donc la courbe (C) admet une asymptote oblique au voisinage de -∞ d'équation

y = 1 x + 1
2

On a


lim
+∞
f(x) = +∞

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
= 1
x 2x² 2

lim
+∞
f(x)- 1 x =
lim
+∞
2x-1
2 2x-2
=
lim
+∞
2x = 1
2x

La courbe (C) admet donc une asymptote oblique au voisinage de +∞ d'équation

y = 1 x + 1
2

3) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{1}.
Soit x∈D\{1}

f'(x) = 2x²-4x = x(x-2)
(2x-2)² 2(x-1)²

f'(x)=0⇔ x=0 ou x=2
f est strictement croissante sur ]-∞;0]
et sur [2;+∞[ et strictement décroissante sur [0;1[ et sur ]1;2].

x -∞ 0 1 2 +∞
f'(x) + 0 - - 2 +
f

-∞

1/2


-∞
+∞


5/2

+∞

La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation admet deux solutions a et b telles que
-2<a<-1 et 0<b<1.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au dessus de l'axe des abscisses
ainsi S=[a;b]∪]1;+∞[.