تمرين 14 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

{	f(x)=	2x	; x≤0
		x²+1
	f(x)=	2√(x)	; x> 0
		x²+1

1) (q1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
(q2) احسب النهايات عند محدات مجموعة تعريف الدالة f
2) حدد مقاربات منحنى الدالة f
3) (q1) ادرس قابلية الاشتقاق الدالة f عند 0
(q2) ادرس رتابة الدالة f على المجالين ]-∞;0[ ; ]0;+∞[ وانشئ جدول التغيرات
4) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
5) حل مبيانيا وحسب قيم الوسيط m المعادلة f(x) = m

تصحيح

4) المنحنى

تمرين 15 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=	sinx
	1-cosx

1) حدد J المجال المختصر لدراسة الدالة f
2) احسب نهاية الدالة f عند محدات المجال J ثم استنتج مقاربات منحنى الدالة f
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
4) انشئ منحنى الدالة f على المجال [-3π;3π]

تصحيح

1) D={x∈IR/ 1-cosx≠0}
={x∈IR/ x≠2kπ ; k∈ℤ}
لدينا ∀x∈D, x+2π;x-2π∈D

f(x+2π)=	sin(x+2π)	=	sin(x)	= f(x)
	1-cos(x+2π)		1-cos(x)

وهذا يعني ان f دالة دورية دورها 2π اذن يكفي دراستها على مجال سعته 2π فليكن I=[-π;π]\{0} المجموعة I مماثلة بالنسبة للصفر اذن
∀x∈I, (-x)∈I

f(-x)=	sin(-x)	=	- sin(x)	= -f(x)
	1-cos(-x)		1-cos(x)

وهذا يعني ان f دالة فردية وبالتالي يكفي دراستها على المجال J=]0;π] الذي هو مجموعة الدراسة
2)

lim 0+	f(x)=	lim 0+	sinx
			1-cosx
=lim 0+	1.sinx	.	x²	=+∞.1.2=+∞
	x.x		1-cosx

وهذا يعني ان المنحنى (C) يقبل مقاربا معادلته x=0

3) الدالتان cos و sin قابلتان للاشتقاق على IR وبالخصوص على J والدالة x→(1-cosx) لا تنعدم في J اذن f قابلة للاشتقاق على J

f '(x)=	cosx(1-cosx)-sin²x
	(1-cosx)²

=	-1+cosx
	(1-cosx)²
=	-1
	1-cosx

لدينا ∀x∈J, 1-cosx> 0
اذن ∀x∈J, f'(x)< 0 وبالتالي f تناقصية قطعا على J

x	0			π
f '(x)			-
f		+∞	↘	0

4) نرسم المنحنى على J ثم نتممه باستعمال الازاحة ذات المتجهة 2πi^→