تمرين 13 tp

نعتبر الدالة f المعرفة ب

f(x)=	√(1-x) - √(x+1)
	x²-1

1) ادرس زوجية الدالة f
2) ادرس اشارة g(x) على D حيث
g(x)=(1-3x)√(1-x) - (1+3x)√(1+x)
3) احسب نهايات الدالة f عند محدات مجموعة تعريفها ثم حدد المقاربين للمنحنى (C)
4) احسب f'(x) ثم ادرس اشارتها على مجموعة تعريفها وانشئ جدول تغيراتها
5) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم

تصحيح

1) D={x∈IR/1-x≥0 ∧ x+1≥0 ∧ x²-1≠0}
={x∈IR/ x> -1 ∧ x< 1} =]-1;1[
المجال D مماثل بالنسبة للصفر اذن
∀x∈D, (-x)∈D

f(-x)=	√(1-(-x)) - √(-x+1)
	(-x)²-1

=	√(1+x) - √(1-x)
	x²-1
= -	√(1-x) - √(1+x)
	x²-1

اذن f(-x)=-f(x) وهذا يعني ان الدالة f فردية يكفي دراستها على المجال I=[0;1[

2) g(x)=(1-3x)√(1-x) + (1+3x)√(1+x)
=(3x+1)√(1+x) - (3x-1)√(1-x)
نلاحظ ان الدالة g زوجية اذن يكفي دراسة اشارتها على المجال I
ليكن x∈I=[0;1/3]∪[1/3;1[ لدينا
اذا كان x∈[1/3; 1[ فان 3x+1>0 ∧ 3x-1≥0
3x+1 ≥ 3x-1 ∧ √(1+x) ≥ √(1-x)
⇒ (3x+1)√(1+x) > (3x-1)√(1-x)
⇒ g(x) > 0
اذا كان x∈[0;1/3] فان
3x+1> 0 ∧ 1-3x≥0 ∧ √(1+x) ≥ √(1-x)
⇒ g(x)=(1-3x)√(1-x) + (1+3x)√(1+x)> 0
خلاصة ∀x∈I, g(x)> 0
وبما ان g دالة زوجية فان ∀x∈D, g(x)> 0

3) نحدد نهاية الدالة عند 1 على اليسار
x< 1 ⇒ x-1< 0

x	-1		1
x+1	0	+	2
x-1	-2	-	0
x²-1	0	-	0

lim 1-	f(x)	=	lim 1-	√(1-x) - √(x+1)
				(x+1)(1-x)
=	- √(2)	=		+ ∞
	0-

وهذا يعني ان منحنى الدالة f يقبل مقاربا معادلته x=1 على اليسار

نحدد نهاية الدالة f عند -1 على اليمين

lim -1+	f(x)	=	lim -1+	√(1-x) - √(x+1)
				(x+1)(1-x)
=	√(2)	=		- ∞
	0-

وهذا يعني ان منحنى الدالة f يقبل مقاربا معادلته x=-1 على اليمين

4) رتابة الدالة f
x→(x+1) و x→(1-x) دالتان موجبتان قطعا وقابلتان للاشتقاق على D
اذن x→√(x+1) و x→√(1-x) قابلتان للاشتقاق على D
ولدينا ايضا الدالة x→(x²-1) غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على D وبالتالي f قابلة للاشتقاق على D لدينا

f(x)=	√(1-x) - √(x+1)
	x²-1

f '(x)=	(√(x+1) + √(1-x))√(1-x²) - 4x(√(1-x) - √(x+1))
	2(x²-1)²
f '(x)=	(1-3x)√(1-x) + (1+3x)√(1+x)
	2(x²-1)²
f '(x)=	g(x)
	2(x²-1)²

f'(x) لها اشارة g(x) وبما ان g موجبة قطعا على D
فان ∀x∈D, f'(x)> 0 اذن f تزايدية قطعا على D

5) المنحنى