Mathématiques du secondaire qualifiant

Généralités sur les fonctions (7)

2- Composée de deux fonctions

2.1 Définition

2.1.1 Exemple

Soient f et g deux fonctions numériques définies sur IR comme suit
f(x)= 2x-1 et g(x)= x²-3x.
1) Calculer f(3) puis g(f(3)).
2) Déterminer g(f(x)).

2.1.2 Définition

Soient f une fonctions définie sur I et g une fonction définie sur J tel que f(I)⊂J.
la composée de deux fonctions f et g dans cet ordre est une fonction, notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)= g(f(x)).

I f
J g

IR
x f(x) g(f(x))
I gof
IR
2.1.3 Exemple

Soient f une fonction définie par
f(x)=2x+4 et g une fonction définie par g(x)=√(x).
1) Déterminer Dgof.
2) Soit x∈Dgof déterminer gof(x).

Correction

Df=IR et Dg=[0:+∞[.
Dgof={x∈Df / f(x)∈Dg}.
f(x)∈Dg ⇔ 2x+4≥0
⇔x≥-2⇔x∈[-2;+∞[.

Donc Dgof=[-2;+∞[.
On pose I=[-2;+∞[ et J=[0:+∞[
donc (∀x∈I): f(x)∈J ainsi f(I)⊂J.

[-2;+∞[ f
[0;+∞[ g

IR
x (2x+4) √(2x+4)
[-2;+∞[ gof
IR

soit x∈[-2;+∞[.
gof(x)=g(f(x))=g(2x+4)
=√(2x+4)
ainsi (∀x∈I): gof(x)=√(2x+4).

Exercice 1 tp

Soient f une fonction définie par

f(x)=1
x-3

et g une fonction définie par g(x)=√(x).
1) Déterminer Dgof.
2) Si x∈Dgof alors déterminer gof(x).

Correction

Df=IR\{3} et Dg=[0:+∞[.
Dgof={x∈Df / f(x)∈Dg}.

f(x)∈Dg ⇔ x-3>0
⇔x>3⇔x∈]3;+∞[
donc Dgof=]3;+∞[.
On pose I=]3;+∞[ et J=[0:+∞[
donc (∀x∈I): f(x)∈J aonsi f(I)⊂J.

]3;+∞[ f
[0;+∞[ g

IR
x 1 √( 1 )
x-3 x-3
[-2;+∞[ gof
IR

Soit x∈]3;+∞[.
On a gof(x)=g(f(x)).

gof(x) = g( 1 )
x-3
= √( 1 )
x-3

ainsi (∀x∈I)

gof(x) = √( 1 )
x-3
Exercice 2 tp

Soient f une fonction définie par f(x)=x²-1 et g une fonction définie par

g(x) = 1
x

1) Déterminer Dfog et Dgof.
2) Si x∈Dgof alors déterminer gof(x).
3) Si x∈Dfog alors déterminer fog(x).