Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	1
	x²-2

1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que f est paire.

Correction

f est définie si x²-2≠0
x²-2=0 ⇔ ⇔ x=√2 ou x=-√2
donc D=IR\{-√2; √2} et il est centré en 0.

2) ∀x∈D on a (-x)∈D.
Soit x∈D

f(-x) =	1
	(-x)²-2
=	1
	x²-2

donc f(-x)=f(x)
ainsi f est une fonction paire.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = -2+	1
	x²+1

1) Etudier la parité de f.
2) Montrer que (∀x∈IR): f(x)>-2.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+2x+3.
Montrer que (∀x∈IR⁺): f(x)>2.

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 3-	1
	x

1) Déterminer D_f.
2) Montrer que (∀x∈IR^+*): f(x)< 3.

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	1
	x²-2

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est paire.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	2x
	x²-2

1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que f est impaire.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=x²+4x.
1) Etudier les variations de f sur ]-∞;-2] puis sur [-2;+∞[.
2) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

Soient x; y∈IR tel que x≠y.
f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)
=(x²-y²)+4(x-y)
=(x-y)(x+y)+4(x-y)

=(x-y)(x+y+4)
donc T(x;y)=x+y+4.
Signe de x+y+4
1) (a) Soient x; y∈]-∞;-2]
donc x≤-2 et y≤-2
puisque (x≠y) alors x+y<-4
ou encore x+y+4<0 donc T(x;y)<0
f est donc strictement décroissante sur
]-∞;-2].

(b) Soient x; y∈[-2;+∞[
donc x≥-2 et y≥-2
puisque (x≠y) alors x+y>-4
ou encore x+y+4>0 donc T(x;y)>0
f est donc strictement croissante sur
[-2;+∞[.
2) Tableau de variations de f

x		-∞		-2		+∞
f	f		↗	-4	↘