Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=2x²+3.
Etudier les variations de f sur IR⁺ et sur IR^- et tracer son tableau de variations.

Correction

Soient x;y∈IR tel que x<y donc (x-y<0)
f(x)-f(y)=2x²+3 - (2y²+3)
=2x²-2y²=2(x+y)(x-y).
(a) On suppose que x;y∈IR⁺ ou encore (x≥0 et y≥0) donc x+y>0 (notons que x≠y).

Donc 2(x+y)(x-y)<0 ou encore f(x)<f(y) et cela signifie que f est strictement croissante sur IR⁺.
(b) On suppose x;y∈IR^- ou encore (x≤0 et y≤0) donc x+y<0
ou encore 2(x+y)(x-y)>0 donc f(x)>f(y) et cela signifie que f est strictement décroissante sur IR^-.
(c) Tableau de variations de f

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=2x²+4x+5.
1) Montrer que 3 est un extremum de f sur IR.
2) Etudier les variations de f sur ]-∞ ; -1] et sur [-1 ; +∞[ et déduire encore que 3 est un extremum de f sur IR.

Correction

1) Soit x∈IR. On a f(x)-3=2x²+4x+5-3
=2x²+4x+2=2(x²+2x+1)
=2(x+1)² ce nombre est positive
donc (∀x∈IR) on a f(x)≥3.
Existe t'il un élément a dans IR tel que f(a)=3 ?
f(a)=3 ⇔ f(a)-3=0
⇔ 2(a+1)²=0 ⇔ a=-1

Donc 3=f(-1) est une valeur minimale de f
ainsi 3 est un extremum de f atteint en -1 sur IR.
2) Soient x;y∈IR tel que x<y donc (x-y< 0)
f(x)-f(y)=2x²+4x+5 - (2y²+4y+5)
=2(x²-y²)+4(x-y)=(x-y)(2(x+y)+4).
(a) On suppose que x;y∈[-1;+∞[ ou encore (x≥-1 et y≥-1) donc x+y>-2
ou encore 2(x+y)+4>0.

Donc (x-y)(2(x+y)+4)<0
ou encore f(x)<f(y) ainsi f est strictement croissante sur [-1 ; +∞[
(b) On suppose x; y∈]-∞ ; -1] ou encore (x≤-1 et y≤-1) donc x+y<-2 ou encore 2(x+y)+4<0
donc (x-y)(2(x+y)+4)>0
ou encore f(x)>f(y) et cela signifie que f est strictement décroissante sur ]-∞;-1].

(c) Tableau de variations de f

Puisque f est strictement décroissante sur ]-∞;-1] et strictement croissante sur [-1 ; +∞[ alors f(-1)=3 est une valeur minimale de f ainsi 3 est un extremum de f.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie sur I=[-3;3] par f(x)=x³-12x.
1) Etudier les variations de f sur chacun des intervalles suivants [-3;-2]; [-2;2] et [2;3].
2) Tracer le tableau de variations de f sur I.
2) Déduire les extremums de f sur I.