Limite d'une fonction (3)
2- Limite finie et infinie en un point
2.1 Limite infinie en un point
2.1.1 Définitions
Soient f une fonction et a∈IR.
1) Si f tend vers +∞ quand x tend vers a
| on écrit | lim x→a |
f(x) = +∞ |
lim x→a |
f(x) = +∞ |
⇔(∀A>0)(∃α>0)|x-a|<α⇒|f(x)|>A.
2) Si f tend vers -∞ quand x tend vers a
| on écrit | lim x→a |
f(x) = -∞ |
2.1.2 Exemple
Calculer
lim 3 | 1 | = ? |
| (x-3)² |
Correction
f n'est pas définie au point 3 mais on peut calculer
sa limite en 3 en posant t=x-3.
x→3 ⇔ t→0.
donc
lim 3 | 1 | = | lim (t→0) | 1 | =+∞ |
| (x-3)² | t² |
| ainsi | lim 3 | 1 | = +∞ |
| (x-3)² |
2.2 Limite finie en un point
2.2.1 Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-1 |
| x-1 |
Compléter le tableau suivant
| x | 0,9 | 0,99 | 1 | 1,01 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | .. | .. | .. | .. |
Conclusion
On a 1∉Df
si x≠1 alors f(x)=x+1.
N'oublions pas que 1 n'a pas d'image par f
mais on peut calculer des images de quelques éléments
qui s'approchent de 1 et donnons une conjecture sur la limite.
Pour cette fonction la limite au point 1 est 2 car
lim x→1 |
f(x) = | lim x→1 |
x+1 = 2 |
2.2.2 Définition
Soient f une fonction numérique et a un nombre réel.
Si f(x) tend vers L quand x tend vers a
| on écrit | lim x→a |
f(x) = L |
s'il n'y a pas de changement de variable on peut écrire
lim a |
f(x) = L |
on dit L est la limite de f au point a.
lim a |
f(x) = L |
2.2.3 Propriété
lim a |
f(x) = L ⇔ | lim a | (f(x)-L)=0 |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-25 |
| x+5 |
1) Montrer que tout x≠-5 on a f(x)=x-5.
| 2) Calculer | lim -5 |
f(x) |
Correction
On a
| x²-25 | = | (x-5)(x+5) |
| x+5 | x+5 |
si x≠-5 on peut simplifier par x+5
et donc f(x)=x-5.
lim x→-5 | f(x) = | lim x→-5 |
(x-5) = - 10 |