Limite d'une fonction (4)
3- Limite finie et infine en ±∞
3.1 Limite finie en ±∞
3.1.1 Définition
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers L quand x tend vers +∞
| on écrit | lim x→+∞ |
f(x) = L ou | lim +∞ |
f(x) = L |
2) Si f(x) tend vers L quand x tend vers -∞
| on écrit | lim x→-∞ |
f(x) = L ou | lim -∞ |
f(x) = L |
Exemple
lim -∞ | 1 | = 0 |
| x | ||
lim -∞ | 1 | = 0 |
| x² |
lim -∞ | 1 | = 0 |
| √(x) |
3.1.2 Propriété
lim ±∞ |
f(x)=L⇔ | lim ±∞ |
f(x)-L=0 |
lim a |
f(x)=L ⇔ | lim a |
f(x)-L=0 |
Exercice 1 tp
Calculer
lim +∞ | 2+ | 1 | |
| x² |
Correction
lim +∞ |
f(x)-2 = | lim +∞ |
1 | =0 |
| x² |
donc
lim +∞ | f(x) = 2 |
3.2 Limite infinie en ±∞
3.2.1 Définition 1
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞
| on écrit | lim +∞ | f(x) = +∞ |
et on lit limite de f en +∞ est +∞
(même chose en +∞ ou en -∞).
Exemple
lim +∞ | x² = +∞ | lim -∞ | x³ = -∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = -5 + √(x).
Calculer
lim +∞ | f(x) |
Correction
On a
lim +∞ | f(x)+5 = | lim +∞ | √(x) = +∞ |
(l'infini - 5 est toujours l'infini )
| donc | lim +∞ |
f(x) = +∞ |
3.2.2 Définition 2
On dit qu'une fonction est convergente en a si elle admet une limite finie au point a.
3.2.3 Théorème
Si une fonction admet une limite alors cette limite est unique.