النهايات (4)
5.2.2 النهاية عند ±∞
خاصية
اذا كانت p(x) حدودية من الدرجة n فان
limx→+∞p(x)=limx→+∞(axn)
limx→-∞p(x)=limx→+∞(axn)
مثال
احسب lim-∞-2x³+2x²+x-3
تصحيح
نطبق الخاصية السابقة
اذن lim-∞f(x)=lim-∞-2x³= +∞, ;
(-(-∞) =+∞)
تمرين
احسب lim+∞(-x²+5x+3)(-2x³+x-3)
تصحيح
لدينا lim+∞(-x²+5x+3)=lim+∞(-x²)=-∞
و lim+∞(-2x³+x-3)
=lim+∞(-2x³)=-∞
وبما ان (-∞).(-∞)=+∞
lim+∞(-x²+5x+3)(-2x³+x-3)=+∞ فان
5.2.3 خاصيات
لتكن p(x) حدودية من الدرجة n ,(axn هو الحد اكبر درجة للحدودية p(x))
ولتكن q(x) حدودية من الدرجة m ,(bxm هوالحد اكبر درجة للحدودية
q(x))
lim +∞ | p(x) | = lim +∞ | axn |
q(x) | bxm | ||
lim -∞ | p(x) | = lim -∞ | axn |
q(x) | bxm |
تمرين
لتكن f و g دالتين عدديتين
f(x) | 4x+3 | ; g(x) | 3x-1 |
7x-2 | 4x²+5x |
lim-∞f(x) ; lim+∞g(x)
تصحيح
لدينا
lim-∞f(x)= | lim -∞ | 4x | = | 4 |
7x | 7 |
lim+∞g(x)= | lim +∞ | 3x | |
4x² | |||
= | lim +∞ | 3 | =0 |
4x |
5.3 نهاية √(u)
5.3.1 خاصيات
لتكن u دالة عددية
1- اذا كانت limau(x)=L حيث L≥0 فان
lima√u(x)= √L
2- اذا كانت limau(x)=+∞ فان
lima√u(x)= +∞
ملاحظة
الخاصيات تبقى صحيحة عندما x تؤول الى a± او الى ±∞
5.3.2 امثلة
1. lim-2√(x²+x)=√(2)
لان lim-2x²+x=4-2=2 ≥0
2. lim+∞√(x²-3x+2)=+∞
لان
lim+∞x²-3x+2=lim+∞x²=+∞
3)
lim -∞ | √( | 10x+1 | )=√(5) |
2x-3 |
lim -∞ | 10x+1 | =lim -∞ | 10x | =5 |
2x-3 | 2x |
5.4 نهايات مثلثية
5.4.1 خاصيات
lim 0 | sinx | =1 | ; lim 0 | sinax | =1 |
x | ax | ||||
lim 0 | tanx | =1 | ; lim 0 | tanax | =1 |
x | ax |
lim 0 | 1-cosx | = | 1 |
x² | 2 |
5.5 النهايات والترتيب
5.5.1 خاصيات
1. اذا كانت f≥0 وتقبل نهاية في a
(او ±∞) فان هذه النهاية موجبة
2. اذا كانت f≤0 وتقبل نهاية في a
(او ±∞) فان هذه النهاية سالبة
3. اذا كانت f و g دالتين معرفتين على مجال I و k∈IR
بحيث
∀x∈I: |f(x)-L|≤g(x)
و limag(x)=0 فان limaf(x)=L
5.5.2 خاصية
f ; g و h دوال معرفة على I
∀x∈I: g(x)≤f(x)≤h(x) و limag(x) = limah(x) ⇒ limaf(x) = limag(x) = limah(x) |
∀x∈I: f(x)≤g(x) و limag(x) = -∞ ⇒ limaf(x) = -∞ |
∀x∈I: f(x)≥g(x) و limag(x) = +∞ ⇒ limaf(x) = +∞ |
تمرين 1
احسب النهايات التالية
1) lim-∞2x+√(x²+1)
2) lim+∞-5x+√(7x²+2)
تصحيح
1) نضع f(x)=2x+√(x²+1)
نفكر في التعميل او المرافق
lim-∞f(x)=lim-∞2x+√(x²(1+ | 1 | )) |
x² |
lim-∞f(x)=lim-∞2x+x√(1+ | 1 | ) |
x² |
lim-∞√(1+ | 1 | )=1 |
x² |
2) نضع g(x)=-5x+√(7x²+2)
نفكر في التعميل او المرافق
lim+∞g(x)=lim+∞-5x+√(x²(7+ | 2 | )) |
x² |
lim+∞g(x)=lim+∞-5x+x√(7+ | 2 | ) |
x² |
وبما ان
lim +∞ | √(7+ | 2 | )=√(7) |
x² |
تمرين 2
احسب النهايات التالية
lim+∞x²-x-√(x²-2)
lim-∞2x²+√(x²+2x+2)
lim-∞(√(x²-1)-√(2x²+x))
تمرين 3
احسب النهايات التالية
lim π/4 | -1+sin2x | ; lim 0 | -2sinx+sin2x |
x-π/4 | x³ |
تمرين 4
احسب النهايات التالية
lim 1 | √(2x²+1) -x√(3) | ; lim -∞ | 2x+√(x²-1) |
x-1 | x | ||
lim 1 | 2x+√(x)-3 | ; lim -1- | x+1 |
x-1 | x+2√(x)+1 |