4- النهاية على اليمين والنهاية على اليسار

4.1 نشاط

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي

f(x)=	1
	x

اتمم الجدول وحدد نهاية الدالة f عند 0, ان وجدت !

x	-0,001	0	0,001	0,01
f(x)	..	..	..	..

4.2 تعريف 1

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع [a;+∞[
اذا كانت f(x) تؤول الى L, ( ±∞ او ) عندما x تؤول الى a على اليمين نكتب
lim_x→ax>af(x)= L ; (lim_x→ax>af(x)= ±∞)
او lim_x→a⁺f(x)= L

4.3 تعريف 2

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع ]-∞;a]
اذا كانت f(x) تؤول الى L, ( ±∞ او ), عندما x تؤول الى a على اليسار نكتب
lim_{x→ax< a}f(x)= L, (او lim_{x→ax< a}f(x)= ±∞)
او lim_x→a^-f(x)=L

4.4 خاصيات

f تقبل نهاية يعني ان نهايتها على اليمين تساوي نهايتها على اليسار عند نقطة

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=	x
	x-1

1- حدد Df
2- بين ان

∀x∈Df: f(x)= 1+	1
	x-1

3- احسب lim_1⁺f(x) ; lim_1^-f(x)

تمرين

نعتبر الدالة التالية

f:x→	x²-4
	|x-2|

احسب lim_2⁺f(x) و lim_2^-f(x)

تصحيح

1) النهاية على اليمين
لكل x∈]2;2+r[ حيث r>0 اذن x>2
لدينا |x-2|=x-2 اذن f(x)=x+2, ومنه فان lim_2⁺f(x)=lim_2⁺x+2=4
2) النهاية على اليسار
لكل x∈]2-r;2[ حيث r>0 اذن x< 2
لدينا |x-2|=-(x-2) اذن f(x)=-x-2 ومنه فان lim_2⁺f(x)=lim_2⁺-x-2=-4
ملاحظة f لا تقبل نهاية عند 2 ولكن تقبل نهاية على اليسار ونهاية على اليمين عند 2

5- العمليات على النهايات ونهايات دوال اتيادية

5.1 العمليات على النهايات

5.1.1 خاصيات 1

لتكن f و g دالتين تقبلان نهاية منتهية عند a
k∈IR

limaf(x)+g(x)=limaf(x)+limag(x)

limakf(x)=klimaf(x)

limaf(x)g(x)=limaf(x)limag(x)

اذا كان lim_ag(x)≠0 فان

lim a	(	f(x)	)=	limaf(x)
		g(x)		limag(x)

تمرين

احسب النهاية التالية

lim 4	-3+√x
	x

5.1.2 خاصيات 2

نهاية الجمع

limaf(x)	limag(x)	lima(f(x)+g(x))
L	L'	L+L'
L	+∞	+∞
+∞	+∞	+∞
-∞	-∞	-∞
+∞	-∞	╳
-∞	+∞	╳

نهاية الضرب

limaf(x)	limag(x)	lima(f(x).g(x))
L< 0	-∞	+∞
L > 0	+∞	+∞
+∞	+∞	+∞
+∞	-∞	-∞
0	+∞	╳
-∞	-∞	+∞

نهايى الخارج

lim a	f(x)	lim a	g(x)	lim a	f(x)
					g(x)
L	L'≠0	L
		L'
L > 0	0+	+∞
L > 0	0-	-∞
+∞	+∞	╳
+∞	0+	+∞
0	0	╳

╳ يعني شكل غير محدد
الخاصيات السابقة تبقى صحيحة عندما x→±∞

5.2 نهاية دوال حدودية نهاية دوال جدرية

5.2.1 النهاية عند a

p(x) و q(x) حدوديتان و a ∈IR
1) lim_ap(x)=p(a)
2) اذا كان q(a)≠0 فان

lim a	p(x)	=	p(a)
	q(x)		q(a)

امثلة

f(x)=x³-x²+10; a=2
lim₂f(x) = f(2)=12
g(x)=x²-1 ; a=2
lim₂g(x)= g(2)=3

lim 2	f(x)	=	f(2)	=	12	= 4
	g(x)		g(2)		3