Limite d'une fonction (17)
Exercice 1 tp
Calculer les limites suivantes
| lim + ∞ |
cos(x)+sin(x) |
| x² |
| lim - ∞ |
cos(x)+sin(x) |
| x² |
| lim 0 |
cos(x)+sin(x) |
| x² |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x(2+sinx) |
| 1+√(x) |
Calculer
lim + ∞ |
f(x) |
Correction
x→+∞ donc x est strictement positif.
On a (∀x∈IR): sinx≥-1 ou encore 2+sinx≥1.
Rappel
| Si | u ≥ v et | lim ±∞ ou a |
v(x) = +∞ |
| alors | lim ±∞ ou a |
u(x) = +∞ |
On a
| f(x) ≥ | x |
| 1+√(x) |
| x | = | √(x) |
| 1+√(x) | 1+1/√(x) |
| lim + ∞ |
1 | = 0 |
| √(x) |
donc
| lim + ∞ |
√(x) | = + ∞ |
| 1+1/√(x) |
ainsi
| lim + ∞ |
f(x) = +∞ |
Exercice 3 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | -x+cosx |
| √(x) |
Calculer
| lim + ∞ |
f(x) |
Correction
Rappel
| Si | u ≤ v et | lim ±∞ ou a |
v(x) = - ∞ |
| alors | lim ±∞ ou a |
u(x) = - ∞ |
On a (∀x∈IR): cosx≤1
donc -x+cosx<-x + 1.
Et puisque √(x)>0 alors
| -x+cosx | < | -x + 1 |
| √(x) | √(x) |
On a
| - x + 1 | = - √(x) + | 1 |
| √(x) | √(x) |
| lim + ∞ | 1 | = 0 |
| √(x) |
Et puisque
lim + ∞ |
- √(x) = -∞ |
alors
lim + ∞ |
f(x) = -∞ |