Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x²+x-1
	2x-2

Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.

Correction

1) D={x∈IR / 2x-2≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[.

lim -∞	f(x) =	lim -∞	x²
			2x

=	lim -∞	1	x	= -∞
		2

donc

lim -∞

f(x)= -∞

2) Limite en +∞

lim +∞	f(x) =	lim +∞	x²
			2x

=	lim +∞	1	x	= +∞
		2

donc

lim +∞

f(x) = +∞

3) Limite à droite et Limite à gauche à 1
on étudie le signe de 2x-2 au voisinage de 1.

x		-∞		1		+∞
x			-	0	+

lim 1-	f(x) =	lim 1-	x²+x-1
			2x-2

donc

lim 1-	f(x) =	1	=- ∞
		0-

lim 1+	f(x) =	lim 1+	x²+x-1
			2x-2

donc

lim 1+	f(x) =	1	=+ ∞
		0+

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x+1+	1
	x

Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x²-3x+2
	x³-2x²-x+2

Calculer les limites suivantes

lim 2

f(x)

lim (-1)+

f(x)

lim (-1)+

f(x)

Correction

On pose p(x)=x²-3x+2.
Δ=3²-4.2=1>0

1 et 2 sont deux racines de p(x)
donc p(x)=(x-1)(x-2).
On pose q(x)=x³-2x²-x+2.
q(2)=0 donc q(x) est divisible par x-2
en appliquant la division euclidienne de q(x) par x-2
on obtient q(x)=(x-2)(x²-1).

lim 2	f(x)	=	lim 2	(x-1)(x-2)
				(x-1)(x+1)(x-2)
=	lim 2	1	=	1
		x+1		3

Donc f admet une limite finie en 2.

Limite à gauche et à droite à -1.
Signe de x+1

x		-∞		-1		+∞
x	x		-	0	+

lim (-1)-	f(x) =	lim (-1)-	1	=	1	= -∞
			x+1		0-
lim (-1)+	f(x) =	lim (-1)+	1	=	1	= +∞
			x+1		0+