Limite d'une fonction (5)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | |x-1| |
| x³ - 1 |
1) La fonction f admet elle une limite au point 1 ?
2) Calculer
lim -∞ | f(x) | lim +∞ | f(x) |
Correction
1) x-1 s'annule en 1 en changeant de signe au voisinage de 1
donc il s'agit des limites à droite et à gauche à 1.
Si x≥1 alors |x-1|=x-1.
Si x≤1 alors |x-1|=-(x-1).
lim 1- |
f(x) = | lim 1- |
-(x-1) |
| (x-1)(x²-x+1) | |||
| = | lim 1- |
-1 | = -1 |
| x²-x+1 |
Donc f admet une limite à gauche à 1.
On a
lim 1+ |
f(x) = | lim 1+ |
x-1 |
| (x-1)(x²-x+1) | |||
| = | lim 1+ |
1 | = +1 |
| x²-x+1 |
donc f admet une limite à droite à 1.
Puisque la limite à gauche est différente de la limite à droite à 1 alors f n'a pas de limite au point 1.
2) (x→ -∞) ⇒ (x<1)
donc |x-1|=-(x-1).
lim - ∞ |
f(x) = | lim - ∞ |
-(x-1) |
| (x-1)(x²-x+1) | |||
| = | lim - ∞ |
-1 | |
| x²-x+1 | |||
| = | lim - ∞ |
-1 | |
| x² |
| ainsi | lim -∞ |
f(x) | = 0 |
(x→ +∞) ⇒ (x>1)
donc |x-1|=x-1.
lim + ∞ |
f(x) = | lim + ∞ |
x-1 |
| (x-1)(x²-x+1) | |||
| = | lim + ∞ |
1 | |
| x²-x+1 | |||
| = | lim + ∞ |
1 | |
| x² |
| ainsi | lim +∞ |
f(x) | = 0 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| { | f(x)= x²-5 | si x ≤ 2 |
| f(x) = x-4+√(x-1) | si x > 2 |
La fonction f admet elle une limite au point 2 ?
Correction
D=]-∞;2]∩]2;+∞[=IR.
La fonction f est définie sur deux intervalles
2∈]-∞;2] donc l'image f(2) doit être calculée dans l'expression
f(x)=x²-5.
f(2)=2²-5=-1.
lim 2- |
f(x) = | lim 2- |
x²-5 |
lim 2- |
f(x) = -1 |
et on a
lim 2+ |
f(x) = | lim 2+ |
x-4+√(x-1) |
lim 2+ | f(x) = -1 |
donc la fonction f admet une limite à gauche et une limite à droite à 2 et ces deux limites sont égales
donc f admet une limite au point 2.
lim 2 | f(x) = -1 |