3.2.2 الاستدلال المضاد للعكس

للبرهنة ان p⇒q صحيحة يكفي ان نبين ان
⌉q ⇒ ⌉p صحيحة.

تمرين 1 tp

ليكن x ;y∈IR
بين ان x≠y ∧ x+y≠2 ⇒ x²-2x≠y²-2y.

تصحيح

يكفي ان نبين ان x²-2x=y²-2y⇒x=y ∨ x+y=2
x²-2x=y²-2y⇒x²-2x+1=y²-2y+1
⇒(x-1)²=(y-1)²
⇒x-1=y-1 ∨ x-1=-(y-1)
⇒x=y ∨ x+y=2
اذن x²-2x=y²-2y⇒x=y ∨ x+y=2
ومنه فان x≠y ∧ x+y≠2 ⇒ x²-2x≠y²-2y صحيحة.

3.2.3 الاستدلال بفصل الحالات

للبرهنة على (p⋁q)⇒r
يكفي البرهنة على صحة العبارتبن
p⇒r و q⇒r.
عمليا q=⌉p
وللبرهنة على (p⋁⌉p)⇒r
يكفي الرهنة على p⇒r و ⌉p⇒r.

مثال
حل في IR المعادلة |2x+10|=8.

تصحيح
1) اذا كان 2x+10≥0 أي اذا كان x≥-5
|2x+10|=8 ⇔2x+10=8⇔x=-1.
لدينا -1≥-5 اذن -1 هو حل للمعادلة.

2) اذا كان 2x+10≤0 أي اذا كان x≤-5
|2x+10|=12 ⇔2x+10=-8⇔x=-9.
لدينا -9≤-2 اذن -9 هو حل للمعادلة
وبالتالي مجموعة حلول المعادلة
S={-9;-1}.

3.2.4 الاستدلال بالتكافئ

للبرهنة على ان p⇔q احيانا نستعمل عبارة ( او اكثر ) :
(p⇔u) و (u⇔v) و (v⇔q)
نستنتج ان p⇔q.

مثال
حل في IR المعادلة x⁴-81=0.

تصحيح
x⁴-81=0 ⇔ (x²)²-(3²)²=0
⇔ (x²-3²)(x²+3²)=0
⇔ x²-3²=0 ∨ x²+3²=0
⇔(x-3)(x+3)=0 (x²+3²= 0 ليس لها اي حل في IR)
⇔ x-3=0 ∨ x+3=0
⇔ x=2 ∨ x=-3
وبالتالي S={-3;3}.

للتنبيه توجد بعض الحالات التي يمكن ان نبرهن على خاصية بمثال مضاد .

مثال
بين ان الدالةالعددية f غير زوجية f(x)=x²+2x.

تصحيح
يكفي ان ناخذ مثالا لنبين ان الدالة غير زوجية x=1
f(1)=1²+2.1=3
f(-1)=(-1)²+2(-1)=1-2=-1
f(-1)≠f(1)
وهذا يعني ان الدال f غير زوجية.