3.2.2 Raisonnement par contraposé

Pour montrer l'implications p⇒q est vraie
il suffit de montrer que
⌉q ⇒ ⌉p est vraie.

Exemple
Soient x et y deux nombres réels
Montrer que (x≠y et x+y≠2) ⇒ x²-2x≠y²-2y.

Correction
[x≠y et x+y≠2 ⇒ x²-2x≠y²-2y]
⇔ [x²-2x=y²-2y ⇒ x=y ou x+y=2].

il suffit donc de montrer que x²-2x=y²-2y⇒(x=y ou x+y=2).
On suppose que x²-2x=y²-2y
x²-2x=y²-2y⇒x²-2x+1=y²-2y+1
⇒(x-1)²=(y-1)²
⇒x-1=y-1 ou x-1=-(y-1)
⇒x=y ou x+y=2
donc x²-2x=y²-2y⇒x=y ou x+y=2
ainsi (x≠y et x+y≠2) ⇒ x²-2x≠y²-2y est vraie.

3.2.3 Raisonnement par disjonction des cas

Pour montrer que (p⋁q)⇒r
il suffit de montrer que les deux propostions
p⇒r et q⇒r sont vraies.
Pratiquement q=⌉p
et pour montrer que (p⋁⌉p)⇒r
il suffit de montrer p⇒r et ⌉p⇒r.

Exemple
Résoudre dans IR l'équation |2x+10|=8.

Correction
1) Si 2x+10≥0 ou encore x≥-5
|2x+10|=8 ⇔2x+10=8⇔x=-1.
On a -1≥-5 donc -1 est une solution de l'équation.

2) Si 2x+10≤0 ou encore x≤-5
|2x+10|=12 ⇔2x+10=-8⇔x=-9.
On a -9≤-2 donc -9 est une solution de l'équation
ainsi S={-9;-1}.

3.2.4 Raisonnement par équivalence

Pour montrer que p⇔q, par fois il est obligé d'utiliser d'autre proposition (ou plusieurs)
(p⇔u) et (u⇔v) et (v⇔q)
et on déduit que p⇔q.

Exemple
Résoudre dans IR l'équation x⁴-1=0.

Correction
x⁴-1=0 ⇔ (x²)²-(1²)²=0
⇔ (x²-1²)(x²+1²)=0
⇔ x²-1²=0 ou x²+1²=0
⇔(x-1)(x+1)=0 (x²+1²= 0 n'a pas de solution dans IR)
⇔ x-1=0 ou x+1=0 ⇔ x=1 ou x=-1
donc S={-1;1}.

Notons qu'ils existent des cas qu'on peut raisonner par un contre exemple.
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x²+2x.
Montrer que f n'est pas paire.

Correction
Il suffit de donner un contre exemple
1∈IR et -1∈IR.
On a f(1)=3 et f(-1)=-1 donc f(1)≠f(-1)
ainsi f n'est pas une fonction paire.