تمرين 14 tp

ليكن x∈E=]-∞;0[
نضع

y =	x
	2-x

بين ان (∀x∈E) : y ≥ -1

تصحيح

لدينا x < 0
اذن y < 0 لان (2-x > 0)
نفترض بالخلف ان y < -1
وهذا يعني ان

y =	x	< -1 ⇒ x < -(2-x) ⇒ 0 < -2
	2-x

وهذا غير ممكن وبالتالي (∀x∈E) : y ≥ -1

تمرين 15 tp

1) بين ان ∀n∈IN*

1+2+...+n =	n(n+1)
	2

2) (q1) بين بالترجع ان لكل n∈IN العدد الصحيح n(n+1) عدد زوجي
(q2) بين بفصل الحالات ان لكل n∈IN العدد الصحيح n(n+1) عدد زوجي

تمرين 16 tp

لتكن a;b∈ℚ
1) بين ان
a+b√3=0 ⇒ a=b=0
2) استنتج ان ∀x;y;z;t∈ℚ
(x+y√3=z+t√3 ⇒ x=z ∧ y=t)

تمرين 17 tp

1) بين بالترجع الخاصية التالية (p1) ∀n∈IN*

1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)=	n(n+1)(n+2)
	3

2) بين بالترجع الخاصية التالية (p2) ∀n∈IN
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)²

تصحيح

1) نبين بالترجع الخاصية (p1)
من اجل n=1 ; 1.2= 1(1+1)(1+2) = 3 الخاصية صحيحة
نفترض الآن ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
لدينا

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)
=	n(n+1)(n+2)
	3

⇒ 1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2) =

n(n+1)(n+2)	+(n+1)(n+2)
3

⇒

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2)
=	n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)
	3

⇒

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2)
=	(n+1)(n+2)(n+3)
	3

⇒

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+(n+1)(n+2)
=	(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)
	3

⇒

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+(n+1)(n+2)
=	(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)
	3

وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
نستنتج اذن ان الخاصية صحيحة لكل n∈IN*

وبالتالي (p1) ∀n∈IN*

1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)=	n(n+1)(n+2)
	3

2) نبين بالترجع الخاصية (p2)
من اجل n=0 ; 1= 2.0+1=(0+1)²=1 الخاصية صحيحة
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1

لدينا
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)²
⇔ 1+3+5+...+(2n+1)+(2(n+1)+1)
=(n+1)² + (2(n+1)+1)
⇔ 1+3+5+...+(2n+1)+(2(n+1)+1)
=(n+1)² + 2(n+1)+1 , (متطابقة هامة)
⇔ 1+3+5+...+(2(n+1)+1)
=((n+1)+1)²
وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
وبالتالي (p2) ∀n∈IN
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)²