تمرين 18 tp

1) بين بالترجع الخاصية التالية
∀n∈IN

1³ + 2³ + 3³ +..+n³=	n²(n+1)²
	4

2) بين بالترجع الخاصية التالية
∀n∈IN* 3|4ⁿ-1

تمرين 19 tp

بين بالترجع ان
∀n∈IN*: 7| 3²ⁿ-2ⁿ

تصحيح

نبين ان
∀n∈IN*: 7| 3²ⁿ-2ⁿ
من اجل n=1 لدينا 3²-2¹=9-2=7 و 7 يقسم 7اذن الخاصية صحيحة من اجل n=1
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
لدينا حسب الافتراض 7 | 3²ⁿ-2ⁿ
ونعلم ان
7| 3²ⁿ-2ⁿ ⇔ ∃k∈IN / 3²ⁿ-2ⁿ=7k
نبين اذن ان 7 | 3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹

لدينا 3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹=3²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹
=9.3²ⁿ-2.2ⁿ
=(7+2).3²ⁿ-2.2ⁿ
=7.3²ⁿ+2.3²ⁿ-2.2ⁿ
=7.3²ⁿ+2(3²ⁿ-.2ⁿ)
=7.3²ⁿ+2(7k)
=7.(3²ⁿ+2k)
=7k', k'=3²ⁿ+2k∈IN
وهذا يعني ان 7| 3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹
اذن الخاصية صحيحة من اجل n+1
وبالتالي نستنتج ان ∀n∈IN*: 7| 3²ⁿ-2ⁿ

تمرين 20 tp

بين بالترجع ان
∀n∈IN: 5| 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²

تصحيح

نبين ان
∀n∈IN: 5| 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
من اجل n=0 لدينا 3²-2²=9-4=5 و 5 يقسم 5 اذن الخاصية صحيحة من اجل n=0
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
لدينا حسب الافتراض 5 | 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
ونعلم ان
5| 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² ⇔ ∃k∈IN / 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²=5k
نبين اذن ان 5 | 3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2

لدينا 3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2=3^(3n+2)+3-2^(n+2)+1
=27.3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²
=(25+2).3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²
=25.3³ⁿ⁺²+2.3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²
=25.3³ⁿ⁺²+2(3³ⁿ⁺²-.2ⁿ⁺²)
=25.3³ⁿ⁺²+2(5k)
=5.(5.3³ⁿ⁺²+2k)
=5k', k'=3³ⁿ⁺²+2k∈IN
وهذا يعني ان 5| 3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2
اذن الخاصية صحيحة من اجل n+1
وبالتالي نستنتج ان ∀n∈IN: 5| 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²

تمرين 21 tp

ليكن (x ; y)∈IR+²
بين ان
√(2x+1) + √(2y-3)=x+y ⇔ (x=0) ∧ (y=2)

تصحيح

√(2x+1) + √(2y-3)=x+y
⇔ 2√(2x+1) + 2√(2y-3)=2x+2y
⇔ 2√(2x+1)+ 2√(2y-3)=2x+1+2y-3 + 2
⇔ (2x+1)-2√(2x+1)
+ (2y-3)-2√(2y-3) +2 = 0
⇔ [√(2x+1)]²-2√(2x+1)+1
+ [√(2y-3)]²-2√(2y-3)+1 = 0
⇔ (√(2x+1)-1)² + (√(2y-3)-1)²=0
⇔ (√(2x+1)-1)=0 ∧ (√(2y-3)-1)=0

⇔ √(2x+1)=1 ∧ √(2y-3)=1
⇔ 2x+1=1 ∧ 2y-3=1
⇔ 2x=0 ∧ 2y=4
⇔ x=0 ∧ y=2