Exercice 1 tp

1) Montrer par récurrence que ∀n∈IN l'entier n(n+1) est pair.
2) Montrer par disjonction des cas que ∀n∈IN l'entier n(n+1) est pair.

Exercice 2 tp

Montrer que ∀n∈IN*

1+2+...+n =	n(n+1)
	2

Exercice 3 tp

Montrer par récurrence la propriété P(n): ∀n∈IN
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)².

Correction

On montre par récurrence P(n)
pour n=0 ; 1= 2.0+1=(0+1)²=1 P(n) est vraie
on suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)²

⇔ 1+3+5+...+(2n+1)+(2(n+1)+1)
=(n+1)² + (2(n+1)+1)
⇔ 1+3+5+...+(2n+1)+(2(n+1)+1)
=(n+1)² + 2(n+1)+1 , (identité remarquable)
⇔ 1+3+5+...+(2(n+1)+1)
=((n+1)+1)²
et cela signifie que P(n) est vraie pour n+1
on déduit donc qu'elle est vraie pour tout n∈IN
(∀n∈IN): 1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)².

Exercice 4 tp

Soit a;b∈ℚ
1) Montrer que
a+b√3=0 ⇒ a=b=0.
2) Déduire que ∀x;y;z;t∈ℚ
(x+y√3=z+t√3) ⇒ (x=z ∧ y=t).

Exercice 5 tp

Montrer par récurrence la propriété P(n): ∀n∈IN*

1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)=	n(n+1)(n+2)
	3

Correction

1) On montre par récurrence P(n)
1.2= 1(1+1)(1+2) = 3 donc P(n) est vraie pour n=1

On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1

	1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)
=	n(n+1)(n+2)
	3

⇒ 1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2)

=	n(n+1)(n+2)	+(n+1)(n+2)
	3

⇒1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2)

=	n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)
	3

⇒1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)+(n+1)(n+2)

=	(n+1)(n+2)(n+3)
	3

⇒1.2 + 2.3 + 3.4 +..+(n+1)(n+2)

=	(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)
	3

⇒1.2 + 2.3 + 3.4 +..+(n+1)(n+2)

=	(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)
	3

et cela signifie que P(n) est vraie pour n+1
on déduit donc qu'elle est vraie pour tout n∈IN* alors ∀n∈IN*

1.2 + 2.3 + 3.4 +..+ n(n+1)=	n(n+1)(n+2)
	3