Exercice 1 tp

1) Montrer par récurrence la propriété P(n):
∀n∈IN

1³ + 2³ + 3³ +..+n³=	n²(n+1)²
	4

Exercice 2 tp

Montrer par récurrence la propriété
P(n): (∀n∈IN*): 7|3²ⁿ-2ⁿ.

Correction

On montre (∀n∈IN*): 7|3²ⁿ-2ⁿ
pour n=1 on a 3²-2¹=9-2=7 et 7 divise 7 donc P(n) est vraie pour n=1
on suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1

D'après la supposition, 7|3²ⁿ-2ⁿ On sait que
7|3²ⁿ-2ⁿ ⇔ (∃k∈IN): 3²ⁿ-2ⁿ=7k
on montre donc 7|3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹=3²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹
=9.3²ⁿ-2.2ⁿ
=(7+2).3²ⁿ-2.2ⁿ
=7.3²ⁿ+2.3²ⁿ-2.2ⁿ
=7.3²ⁿ+2(3²ⁿ-.2ⁿ)

=7.3²ⁿ+2(7k)
=7.(3²ⁿ+2k)
=7k' avec k'=3²ⁿ+2k∈IN
et cela signifie que 7|3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2ⁿ⁺¹ donc P(n) est vraie pour n+1
on déduit donc (∀n∈IN*): 7| 3²ⁿ-2ⁿ.

Exercice 3 tp

Montrer par récurrence la propriété
P(n): ∀n∈IN: 5|3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺².

Correction

On montre que
(∀n∈IN): 5|3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²

Pour n=0 on a 3²-2²=9-4=5 et 5 divise 5 donc P(n) est vraie pour n=0
on suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1.

D'après la supposition
5|3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² et on a
5|3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² ⇔ (∃k∈IN): 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²=5k
On montre donc 5 | 3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2
3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2=3³ⁿ⁺²⁺³-2ⁿ⁺²⁺¹
=27.3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²
=(25+2).3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²
=25.3³ⁿ⁺²+2.3³ⁿ⁺²-2.2ⁿ⁺²

=25.3³ⁿ⁺²+2(3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²)
=25.3³ⁿ⁺²+2(5k)
=5.(5.3³ⁿ⁺²+2k)
=7k', k'=5.3³ⁿ⁺²+2k∈IN
donc 5| 3^3(n+1)+2-2^(n+1)+2
ainsi P(n) est vraie pour n+1 On déduit donc
(∀n∈IN): 5| 3³ⁿ⁺²-2ⁿ⁺².

Exercice 4 tp

Montrer par récurrence la propriété
P(n): (∀n∈IN*): 3|4ⁿ-1.