3- Etude analytique de la sphère

3.1 Equation d'une sphère

3.1.1 Définition

Soit A un point dans l'espace. une sphère de centre A est l'ensemble des points qui s'éloignent de la même distance à A.
En d'autre terme
Une sphère de centre A et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM=R.

3.1.2 Equation d'une sphère (S) de centre Ω(a;b;c) et de rayon R

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère une sphère (S) de centre Ω(a;b;c) et de rayon R.
M(x;y;z)∈(S) ⇔IM=R
⇔√[(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²]=R
⇔ (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² (R≥0).

Propriété et définition
L'ensemble des points M(x:y;z) de l'espace E₃ tel que
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² est une sphère de centre Ω(a;b;c) et de rayon R (R≥0).
L'équation (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² est appelée équation cartésienne de la sphère (S).

Remarque
L'équation (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² peut s'écrire sous la forme
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+a²+b²+c²-R²=0.

Exercice 1 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Déterminer l'ensemble (S) d'équation
(x-1)²+(y-2)²+(z+7)²=5 en précisant ses éléments caractéristiques.

Correction

5 > 0 donc 5 = (√(5))²
ainsi (x-1)²+(y-2)²+(z+7)²=5
⇔ (x-1)²+(y-2)²+(z+7)²= (√(5))²
et cela signifie que (S) est une sphère de centre Ω(1;2;-7) et de rayon R=√5.

Exercice 2 tp

Déterminer l'ensemble (S) d'équation
(x+2)²+y²+(z-1)²=9 en précisant ses éléments caractéristiques.

Correction

L'équation de (S) est une équation cartésienne d'une sphère car 9=3²
donc (x+2)²+y²+(z-1)²=9
⇔ (x+2)²+y²+(z-1)²=3²
et cela signifie que (S) est une sphère de centre Ω(-2;0;1) et de rayon R=3.

x²+y²+z²+4x-2z-4=0 est aussi une équation cartésienne de la sphère (S).

Exercice 3 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soit (S) l'ensemble des points M(x;y;z) tels que x²+y²+z²-4x-2y+10z-19=0.
Montrer que (S) est une sphère et préciser ses éléments caractéristiques.

Correction

x²-4x=(x-2)²-4.
y²-2y=(y-1)²-1.

z²+10z=(z+5)²-25.
Donc x²+y²+z²-4x-2y+10z-19=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+5)²-4-1-25-19=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+5)²=49=7².
(S) est donc une sphère de centre Ω(2;1;-5) et de rayon R=7.

Exercice 4 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Montrer que l'ensemble
(S): x²+y²+z²+4x-4y+2z+10=0 n'est pas une sphère.

Correction

On procéde de la même manière que l'exercice précédent.
x²+4x=(x+2)²-4.
y²-4y=(y-2)²-4.
et z²+2z=(z+1)²-1.
On a donc x²+y²+z²+2x-4y+2z+1=0
⇔(x+2)²+(y-2)²+(z+1)²-4-4-1+10=0
⇔(x+2)²+(y-2)²+(z+1)²=-1 < 0
Et ce n'est pas possible
(S)=∅ (donc (S) n'est pas une sphère).