Produit scalaire (5)
3.1.3 Sphère définie par un diamètre
Propriété et Définition
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→).
Soit [AB] un diamètre d'une sphère (S). On pose AB=2R
M∈(S) ⇔ AM→.BM→=0
⇔ (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)
+ (z-zA)(z-zB)=0.
L'équation
(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)
+ (z-zA)(z-zB)=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).
Remarque
Le centre d'une sphère définie par un diamètre [AB] est le milieu du segment [AB] et son rayon est égal à la moitié du diamètre.
Exemple
Soit A(3;-2;-1) et B(1;0;1) deux points
L'équation de la sphère du diamètre [AB] est définie comme suivant
(x-3)(x-1)+(y+2)y+(z+1)(z-1)=0.
Notons que AB=√((-2)²+2²+2²)=2√(3).
La sphère (S) est donc de centre Ω(2;-1;0) et de rayon R=√(3).
3.2 L’ensemble des points M(x;y;z): x²+y²+z²+ax+bx+cz+d=0
3.2.1 Rappel
| x²+ax = (x+ | a | )²- | a² | = 0 |
| 2 | 4 | |||
| y²+by = (y+ | b | )²- | b² | = 0 |
| 2 | 4 | |||
| z²+cz = (z+ | c | )²- | c² | = 0 |
| 2 | 4 |
Donc x²+y²z²+ax+by+cz+d=0
| ⇔ (x+ | a | )²+(y+ | b | )²+(z+ | c | )² = β |
| 2 | 2 | 2 |
| tel que β = | a²+b²+c²-4d |
| 4 |
3.2.2 Propriétés
L'espace E3 est rapporté à un repère orthonormé (O ; i→ ; j→ ; k→). On considère dans E3
l'ensemble
(S)={M(x,y)/x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0}.
1) Si a²+b²+c²-4d>0 alors (S) est une sphère
| de centre Ω( | -a | ; | -b | ; | -c | ) |
| 2 | 2 | 2 |
| et de rayon R = √( | a²+b²+c²-4d | ) |
| 4 |
2) Si a²+b²+c²-4d=0 alors (S)=Ω.
3) Si a²+b²c²-4d<0 alors (S)=∅.
Exercice 1 tp
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→).
Soit (S) un ensemble des points M(x:y;z) défini par
x²+y²+z²-2x+2y+2z-2=0.
déterminer la nature de (S).
Correction
On a
| a=-2 | b=2 | c=2 | d=-2 |
a²+b²+c²-4d=4+4+4+8=20>0
| Ω( | 2 | ; | -2 | ; | -2 | ) |
| 2 | 2 | 2 |
(S) est une sphère de centre Ω(1;-1;-1)
et de rayon r=(0,5)√(20)=√(5).
Exercice 2 tp
Soit (F) un ensemble des points M(x:y;z)
x²+y²+z²+3x-2y+2z+12=0.
Donner la nature de (F).
Correction
On a
| a=3 | b=-2 | c=2 | d=12 |
a²+b²+c²-4d=3²+(-2)²+2²-4×12<0 ainsi (F)=∅.