Exercice 1 tp

L'espace E₃ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soit (D) l'ensemble des points M(x;y;z) défini comme suit

{	x+y+z+1 = 0
	x-y+z+3 = 0

1) Montrer que (D) est une droite et déterminer son vecteur directeur.
2) (a) Déterminer un point A de la droite (D).
(b) Déduire une représentation paramétrique de la droite (D).

3) Soit (S) une sphère de rayon 2 et de centre W(1;2;1).
(a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).
(b) Etudier la position relative de (D) et (S).

Correction

1) x+y+z+1=0 est l'équation cartésienne d'un plan noté P de vecteur normal n^→(1;1;1).
x-y+z+3=0 est l'équation cartésienne d'un plan noté Q de vecteur normal m^→(1;-1;1).

(i) Colinéarité de vecteurs n^→ et m^→.
Si n^→ et m^→ sont colinéaires
alors m^→=kn^→ tel que k∈IR ou encore 1=k ; -1=k et 1=k et ce n'est pas possible donc n^→ et m^→ ne sont pas colinéaires et donc P et Q se coupent selon une droite ainsi l'ensemble (D) est une droite.
(ii) Soit u^→(a;b;c) un vecteur directeur de la droite (D) donc u^→⊥n^→ et u^→⊥m^→.

Ou encore
u^→.n^→=0 et u^→.m^→=0
ou encore a+b+c=0 et a-b+c=0.
On fait la somme membre à membre des égalités
on obtient 2a+2c=0 ou encore a=-c
et on soustrait membre à membre des égalités
on obtient 2b=0 ou encore b=0
donc u^→(-c;0;c) ou encore u^→=-ci^→+ck^→
ou encore u^→=c(-i^→+k^→).

On pose w=-i^→+k^→ et puisque u^→ et w^→ sont colinéaires alors w^→(-1;0;1) est aussi un vecteur directeur de la droite (D).
2) (a) Pour déterminer un point A de la droite (D) il suffit de donner une valeur à z.
Soit z=-3

{	x+y-3+1 = 0	⇔{	x+y = 2
	x-y-3+3 = 0		x-y= 0

donc (x+y)+(x-y)=2 ou encore 2x=2 ainsi x=1.
On a x-y=0 donc x=y ainsi y=1 alors A(1;1;-3).

(b) Représentation paramétrique de la droite (D) est définie comme suivant

{	x = 1-t	(t∈IR)
	y = 1
	z = -3+t

3) (a) (S) une sphère de rayon 3 et de centre W(1;2;1)
donc M(x;y;z)∈(S)⇔ WM=9
⇔WM²=9
⇔ (x-1)²+(y-2)²+(z-1)²=9.

Ainsi x²+y²+z²-2x-4y-2z-3=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).
3) Position relative de (D) et (S)
On résout le système suivant

{	(x-1)²+(y-2)²+(z-1)²=9	t∈IR
	x=1-t
	y=1
	z=-3+t

on remplace les valeurs de x;y et z en fonction de t dans l'équation de la sphère (S).

On obtient
(1-t-1)²+(1-2)²+(-3+t-1)²=9
⇔ t²+1+t²-8t+16=9
⇔ 2t²-8t+8=0 ⇔ t²-4t+4=0
⇔ (t-2)=0
donc t=2 puis on remplace la valeur de t dans x;y et z.
On obtient x=-1 ; y=1 et z=-1
et donc (D) coupe la sphère en un seul point B(-1;1;-1) ainsi la droite (D) est tangente à la sphère (S) au point B.