Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux plans (P) et (Q).
(P): 4x+4y+4z+8=0.
(Q): x+y+z+14=0.
1) Vérifier que A(3;0;-5)∈ (P).
2) (a) Montrer que (P) et (Q) sont strictement parallèles.
(b) Calculer d(A;(Q)) la distance de A au plan Q.

3) Soit (S) une sphère telle que (P) et (Q) lui soient tangents et A∈(S).
Déterminer le rayon R de la sphère (S).
4) Déterminer B, le point de contact du plan (Q) et de la sphère (S).
5) (a) Déterminer le centre Ω de la sphère (S).
(b) Déduire une équation cartésienne de la sphère (S).

Correction

1) On vérifie que A(3;0;-5)∈(P)
(P): 4x+4y+4z+8=0
4.3+4.0+4.(-5)+8=12+0-20+8=0
donc A∈(P).

2) (a) n^→(4;4;4) est un vecteur normal à (P)
et m^→(1;1;1) est un vecteur normal à (Q)
de plus n^→=4m^→ et cele signifie que n^→ et m^→ sont colinéaires
donc (P) et (Q) sont parallèles.

On A∈(P)
on vérifie si A(3;0;-5)∈(Q) ?
(Q): x+y+z+14=0
3+0-5+14=12≠0 donc A∉(Q) ainsi (P)≠(Q)
d'où (P) et (Q) sont strictement parallèles.

donc d(A;(Q))=4√(3).

3) Les deux plans (P) et (Q) sont strictement parallèles et tangents à la sphères (S)
cela signifie que la sphère (S) est entre les deux plans.
On a (P) est tangent à la sphère (S) en A
donc le rayon R de la sphère (S) est la moitié de la distance de A à (Q)
ainsi R=2√3.

4) Point de contact du plan (Q) et la sphère (S).
On désigne par (D) à la droite (AB).
(D)⊥(P) donc n^→(4;4;4) est un vecteur directeur de la droite (D)
d'où (D) est définie par la représentation paramétrique suivante

Pour déterminer B, il suffit de résoudre le système suivant

On remplace les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation du plan (P).
(3+4t)+(4t)+(-5+4t)+14=0
⇔ 12t+12=0
donc t=-1.

Et puis on substitue la valeur de t dans la représentation paramétrique de la droite (D)

donc B(-1 ; -4 ; -9).

5) (a) le segment [AB] est un diamètre de la sphère et donc Ω est le milieu du segment [AB].

ainsi Ω(1 ; -2 ; -7).
(b) (S) est une sphère de centre Ω et de rayon R=2√(3)
donc M(x;y;z)∈(S) ⇔ ΩM=2√(3)
⇔(ΩM)²=(2√(3))²
⇔ (x-1)²+(y+2)²+(z+7)²=12
d'où x²+y²+z²-2x+4y+14z+42=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).