Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 l'ensemble des points M(x;y;z) tel que

(S) {	x²+y²+z²=4	(x;y;z)∈IR³
	x+y+z+2=0
	x-y-z-2=0

Résoudre le système (S).

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 l'ensemble des points M(x;y;z) tel que

(S) {	x²+y²+z²=4	(x;y;z)∈IR³
	x+y+z+2=0

Résoudre le système (S).

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 une une sphère de centre W et de rayon 3 et passe par le point B(1 ; -2 ; 0)
et un plan (P) d'équation: 2x+2y+z+1=0.
1) (a) Vérifier que A(2;2;-1)∈(P).
(b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par A et orthogonale au plan (P).

2) Déterminer W le centre de la sphère de manière à ce que le plan (P) lui soit tangente au point A.

Correction

1) (a) A∈P ⇔ (2;-2;-1) vérifie l'équation 2x+2y+z+1=0.
2.2+2.(-2)-1+1=0 donc A∈P.
(b) (D)⊥P ⇔ n^→(2;2;1) est un vecteur directeur de la droite (D).

Donc le système suivant

{	x=2+2t	t∈IR
	y=-2+2t
	z=-1+t

est une représentation paramétrique de la droite (D).
Le plan (P) est tangente à la sphère (S) au point A
donc le centre W(a;b;c) appartient à la droite (D).

Ou encore le triplet (a;b;c) vérifie la représentation paramétrique de la droite (D)
donc

{	a=2+2t	t∈IR
	b=-2+2t
	c=-1+t

et puisque WA=R alors WA²=9
ou encore (2t)²+(2t)²+(t)²=9
ou encore 9t²=9
ou encore t=1 ou t=-1.

Si t=1 alors W(4;0;0) et donc l'équation de la sphère (S)
(x-4)²+y²+z²=9
et puisque B(1;-2;0)∈(S) alors le triplet (1;-2;0) vérifie l'équation de la sphère
c'est à dire (1-4)²+(-2)²+0²=0
ou encore 9+4+0=0
et ce n'est pas possible
donc t=-1 et W(0;-4;-2).

Ainsi l'équation de la sphère (S) est définie par
x²+(y+4)²+(z+2)²=9.
On vérifie que B∈(S)
1²+(-2+4)²+(0+2)²=1+4+4=9
donc W(0;-4;-2) est bien le centre de la sphère (S).