Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 une droite (D) définie par un point E(-1;10;-8) et un vecteur directeur u^→(3;-4;3).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).

2) soit (P) un plan d'équation
(P) 2x-2y+z-4=0.
Montrer que la droite (D) coupe le plan P au point A(5;2;-2).
3) Soit (S) une sphère que (P) soit tangent au point A et de centre Ω(7;0;-1).
(a) Déterminer le rayon R de la sphère (S).
(b) Montrer que x²+y²+z²-14x+2z+41=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).

4) (a) Montrer que la droite (D) n'est pas tangente à la sphère (S).
(b) Déterminer les points d'intersection de la droite (D) et la sphère (S).

Correction

1) M(x;y;z)∈(D)⇔EM^→=tu^→ tel que t∈IR
donc (D) est définie par la représentation paramétrique suivante

2) La droite (D) coupe le plan P au point A(5;2;-2).
On vérifie d'abord que (D) n'est pas parallèle à P.
n^→(2;-2;1) est un vecteur normal à P.
u^→(3;-4;3) est un vecteur directeur de la droite (D).
Si n^→ et u^→ sont colinéaires alors n^→=ku^→ tel que k∈IR
ou encore 2=3k ; -2=-4k et 1=3k

Ou encore k=2÷3 ; k=0,5 et k=1÷3
et ce n'est pas possible
donc n^→ et u^→ ne sont pas colinéaires
d'où (D) coupe le plan P en un seul point.
Il n'y a pas une seule méthode pour répondre à cette question
mais on fait comme suit
on vérifie que A∈P
P: 2x-2y+z-4=0
2.5-2.2-2-4=10-4-2-4=10-10=0
et cela signifie que A∈P.

On vérifie que A∈(D)

cela signifie que EA^→=2u^→ donc A∈(D) d'où A∈P∩(D) et par conséquent (D) coupe le plan (P) au point A(5;2;-2).

3) (a) (P) est tangent à la sphère (S) en A
donc ΩA=R est le rayon de la sphère (S) R=√((5-7)²+(2-0)²+(-2+1)²)=√(4+4+1)
ainsi R=3.
Notons qu'on peut faire autrement.

donc R=3

(b) La sphère (S) est définie par son centre ω(7;0;-1) et de rayon R=3
donc (x-7)²+y²+(z+1)²=3² est une équation cartésienne de la sphère (S)
ou encore x²+y²+z²-14x+2z+50-9=0
ainsi (S): x²+y²+z²-14x+2z+41=0.

4) (a) On montre que la droite (D) n'est pas tangente à la sphère (S).
Supposons que (D) est tangente à la sphère (S)
donc elle est tangente à la sphère (S) au point A et donc la droite (D) est dans le plan P.
et ce n'est pas possible car (D) coupe le plan en un seul point A
d'où la droite (D) n'est pas tangente à la sphère (S).

(b) La droite (D) n'est pas tangente à la sphère (S) et de plus A est un point commun entre (D) et (S)
alors la droite (D) coupe la sphère (S) en deux points A et un autre point noté B.
On résout le système suivant pour déterminer B

On remplace les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation de la sphère
(-1+3t)²+(10-4t)²+(-8+3t)²-14(-1+3t)+2(-8+3t)+41=0
⇔17t²-85t+102=0
Δ=17 et donc t=2 ou t=3.
Si t=2 alors x=5; y=2 et z=-2 on trouve le point A(5;2;-2).
Si t=3 alors x=8 ; y=-2 et z=1 on trouve le deuxième point B(8;-2;1).