Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux vecteurs u^→(3;3;2) et v^→(1;0;1).
1) Vérifier que u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires.
2) Déterminer l'équation cartésienne du plan qui passe par le point A(1;0;2) et de vecteurs directeurs u^→ et v^→.

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux u^→ et v^→ vecteurs
tels que ||u^→||=2 et ||v^→||=4 et u^→.v^→=-0,5.
1) Calculer u^→.(3u^→-v^→).
2) Calculer ||u^→+v^→||.

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 un plan (P) passant par A(2;1;1) et de vecteur normal n^→(5;2;3).
1) Déterminer une équation du plan (P).
2) Déterminer une représentation paramétique d'une droite (D) passe par A et perpendiculaire à (P).

Correction

1) M(x:y;z)∈(P) ⇔AM^→.n^→=0

⇔5(x-2)+2(y-1)+3(z-1)=0
⇔5x+2y+3z-15=0
ainsi l'équation du plan
(P) 5x+2y+3z-15=0.
2) (D)⊥(P)⇔ n^→ est un vecteur directeur de la droite (D)
donc une représentation paramétique de la droite (D) est définie par le système

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 un plan P d'équation 3x+y-z-2=0 et une droite (D) définie par sa représentation paramétrique

Etudier la position relative de (D) et P.

Correction

On étudie la colinéarité du vecteur normal n^→(3;1;-1) à P et le vecteur directeur u^→(3;2;-1) de la droite (D)
si n et u sont colinéaires alors n^→=ku^→ ou k∈IR ou encore 3=3k ; 1=2k et -1=-k ou encore k=1 ; k=0,5 et k=1 , ce n'est pas possible donc n^→ et u^→ ne sont pas colinéaires et donc P et (D) sont sécants.

Pour trouver le point de rencontre il suffit de résoudre le système suivant

3(1+3t)+(-2+2t)-(3-t)-2=0
signifie 12t=4 donc t=1÷3
on remplace la valeur de t dans le système.