Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux plans
P: x+y+z+1=0 et Q: 2x+y-2z+2=0.
Montrer que P et Q se coupent selon une droite (D) de vecteur directeur u^→ qui doit être déterminé.

Correction

1) n^→(1;1;1) et m^→(2;1;-2) sont deux vecteurs normaux respectifs de P et Q.

Si n^→ et m^→ sont colinéaires alors n^→=km^→ ou k∈IR
alors 1=2k ; 1=k et 1=-2k
ou encore k=0,5 ; k=1 et k=-0,5 , et ce n'est pas possible donc n^→ et m^→ ne sont pas colinéaires et donc P et Q se coupent selon une droite (D) définie par le système suivant

Pour déterminer un vecteur directeur de la droite (D on peut faire comme suit
on pose z=t

{	x+y = -t-1	(t∈IR)
	2x+y = 2t-2

ou encore {	2x+2y=-2t-2	(t∈IR)
	2x+y=2t-2

d'une part 2x+2y-(2x+y)=-2t-2-(2t-2)=-4t
donc y=-4t.

D'autre part x=-y-t-1=4t-t-1
donc x=3t-1
ainsi la droite (D) est définie par la représentation paramétrique suivante

tels que A(-1;0;0)∈(D) et u^→(3;-4;1) un vecteur directeur de la droite (D).