Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux droites D(A;u^→) et D'(A';u'^→) tels que u^→(1;-2;1) et u'^→(2;1;0).
1) Vérifier que (D)⊥(D').
2) Soit D"(A";u"^→) une droite tel que u"^→(-4;8;-4).
(a) Vérifier que (D")||(D).
(b) Déduire la position relative de (D') et (D").

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 les points A(2;0;-1) ; B(1;-2;1) et C(0;4;-1).
1) Montrer que A; B et C ne sont pas alignés.
2) Montrer que le vecteur n^→(2;1;2) est un vecteur normal au plan (ABC).
3) Déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux vecteurs u^→(2;1;1) et v^→(1;-2;-1) et un point A(2;4;0).
1) Vérifier que u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires.

2) Soit P un plan défini par les deux vecteurs directeurs, u^→ et v^→ et passe par A.
(a) Déterminer un vecteur normal à P.
(b) Déduire une équation cartésienne du plan P.

Correction

1) Si u^→ et v^→ sont colinéaires alors v^→=ku^→ ou k∈IR
ou encore 1=2k ; -2=k et -1=k.

Ou encore k=0,5 ; k=-2 et k=-1 , et ce n'est pas possible
donc u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires.
2) (a) soit n^→(a;b;c) un vecteur normal à P
donc n^→⊥u^→ et n^→⊥v^→
ainsi 2a+b+c=0 et 2a-2b+c=0 ou encore 2a+b+c+(a-2b-c)=0
ou encore 3a-b=0 ou encore b=3a
et on a aussi 2a+b+c=0 ⇒2a+3a=-c.

Donc c=-5a ainsi n^→(a;3a;-5a) avec a∈IR
ou encore n^→=am^→ ou m^→(1;3;-5) un vecteur colinéaire avec n^→
et par conséquent m^→(1;3;-5) est un vecteur normal à P.

(b) Puisque m^→(1;3;-5) est un vecteur normal à P alors une équation du plan P s'écrit sous la forme
x+3y-5z+d=0.
On a A∈P donc le triplet (2;4;0) vérifie l'équation du plan P
donc 2+12-0+d=0 ou encore d=-14
ainsi P x+3y-5z-14=0.

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 la sphère (S) de centre W(1;4;2) et de rayon 3.
Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).