Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux plans
P: x-2y+z+1=0 et Q:2x+y+2z+2=0.
1) Montrer que P et Q se coupent selon une droite (D).
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).
3) Etudier la position relative du plan
H: 2x-2z+10=0 et la droite (D).

4) Déduire la position relative des plans H et Q.

Correction

1) n(1;-2;1) est un vecteur normal à P.
m(2;1;2) est un vecteur normal à Q.
Si n et m sont colinéaires alors m=kn tel que k∈IR
ou encore 2=k ; 1=-2k et 2=k
ou encore k=2 ; k=-0,5 et k=2
et ce n'est pas possible
donc P et Q sont plans sécants ainsi P et Q se coupent selon une droite (D).

2) P: x-2y+z+1=0 et Q:2x+y+2z+2=0
M(x;y;z)∈(D) ⇔M∈P∩Q
x-2y+z+1=0
et 2(2x+y+2z+2)=0
on additionne membre à membre les membres des équations
on obtient 5x+5z+5=0 ou encore x=-1-z
on pose z=t donc x=-1-t
et y=-2x-2z-2=2+2t-2t-2=0 .

Le système suivant est donc une représentation paramétrique de la droite (D) de vecteur directeur u^→(-1;0;1)

3) H: 2x-2z+10=0
v^→(2;0;-2) est un vecteur normal au plan H
et u^→(-1;0;1) est un vecteur directeur de la droite (D).

On a v^→=-2u^→ donc u^→ et v^→ sont colinéares et donc (D)⊥H.
pour déterminer le point de contact, il suffit de résoudre le système suivant

On remplace les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation du plan H
2(-1-t)-2(t)+10=0
ou encore -4t+8=0 ou encore t=2
donc x=-1-2=-3 ; y=0 et z=2
ainsi (D)∩H={(E(-3;0;2))}.
4) On a (D)⊂Q
et (D)⊥H donc les plans H et Q sont orthogonaux et se coupent selon une droite (Δ).

M(x;y;z)∈(Δ)⇔M∈Q∩H
ou encore

ou encore

En posant x=t on obtient

{	x=t	(t∈IR)
	y=-12-4t
	z=5+t

ce système est une représentation paramétrique de la droite (Δ)
la droite (Δ) est donc définie par un point F(0;-12;5) et un vecteur directeur w^→(1;-4;1).