Produit scalaire (8)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→;k→).
On considère dans 𝔼 un plan P passant par un point A(1;1;-1) et n→(2;-1;2) son vecteur normal.
1) Déterminer une équation cartésienne du plan P.
2) Soit (S)={M(x;y;z)/x²+y²+z²+2x+2xy+4=0}.
Montrer que (S) est une sphère.
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par Ω et perpendiculaire au plan P.
4) (a) Calculer d(Ω;P).
(b) Déduire que le plan P coupe la sphère selon un cercle dont il faut déterminer le centre et le rayon.
Correction
1) M(x;y;z)∈P⇔AM.n=0
⇔2(x-1)-(y-1)+2(z+1)=0
⇔ 2x-y+2z-2+1+2=0
donc 2x-y+2z+1=0 est une équation cartésienne du plan P.
2) Rappel
| x²+ax=(x+ | a | )² - | a² |
| 2 | 4 | ||
| x²-ax=(x- | a | )² - | a² |
| 2 | 4 |
Donc x²+y²+z²+2x-2y-2=0
⇔ x²+2x+y²-2y-2=0
⇔ (x+1)²+(y-1)²+z²-4=0
⇔ (x+1)²+(y-1)²+z²=2²
et cela signifie que (S) est une sphère de centre Ω(-1;1;0) et de rayon R=2.
3) (D)⊥P ⇔ n→(2;-1;2) est un vecteur directeur de la droite (D).
(D) est donc une droite définie par une représentation paramétrique suivante
| { | x=-1+2t | t∈IR |
| y=1-t | ||
| z=2t |
4) (a) Rappel Si (P): ax+by+cz+d=0 est un plan et B(α;β;γ) un point alors
| d(B ; P) = | |aα+bβ+cγ+d| |
| √(a²+b²+c²) |
Donc
| d(Ω ; P) = | |2.(-1)-1+2.0+1| |
| √(2²+(-1)²+2²) | |
| = | |-2| |
| √(9) | |
| = | 2 |
| 3 |
(b) Rappel Soient P un plan et (S) une sphère de centre Ω et de rayon R
Si d(Ω ; P)<R alors le plan P coupe la sphère (S) selon un cercle (C)
de rayon r=√(R²-d²) et de centre l'intersection du plan P et la droite (D) qui passe par Ω et perpendiculaire à P.
| d(Ω ; P) = | 2 | < R = 2 |
| 3 |
Donc le plan P coupe la sphère selon un cercle (C) de rayon r=√(R²-d²) ou encore
| r = √(2² - ( | 2 | )² |
| 3 |
d'où
| r = | 4√(2) |
| 3 |
La droite (D) est perpendiculaire à (P) et passe par Ω.
Elle coupe donc (P) en un seul point qui est le centre du cercle à déterminer
Pour le déterminer, il suffit de résoudre le système suivant
| { | 2x-y+2z+1=0 | t∈IR |
| x=-1+2t | ||
| y=1-t | ||
| z=2t |
En remplçant les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation du plan P
on obtient 2(-1+2t)-(1-t)+2(2t)+1=0
donc t=2÷9.
En substituant la valeur de t dans la représentation paramétrique de (D)
on obtient
| x=-1+2( | 2 | ) = | -5 |
| 9 | 9 | ||
| y=1-( | 2 | ) = | 7 |
| 9 | 9 | ||
| z=2( | 2 | ) = | 4 |
| 9 | 9 |
D'où le centre du cercle (C)
| w( | -5 | ; | 7 | ; | 4 | ) |
| 9 | 9 | 9 |