Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 l'ensemble des points M(x;y;z) tels que

(D) {	x+y+z+1 = 0
	x-y+z+3 = 0

1) Montrer que (D) est une droite et déterminer son vecteur directeur.
2) (a) Déterminer un point A de la droite (D).
(b) Déduire une représentation paramétrique de la droite (D).

3) Soit (S) une sphère de rayon 2 et de centre W(1;2;1).
(a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).
(b) Etudier la position relative de (D) et (S).

Correction

1) x+y+z+1=0 est l'équation cartésienne d'un plan (P) de vecteur normal n^→(1;1;1).
x-y+z+3=0 est une équation cartésienne d'un plan (Q) de vecteur normal m^→(1;-1;1).

On étudie la postion relative de (P) et (Q)
pour cela on étudie la colinéarité des vecteurs n^→ et m^→.
Si n^→ et m^→ sont colinéaires
alors m^→ = kn^→ ou k∈IR ou encore 1=k ; -1=k et 1=k , ce n'est pas possible donc n^→ et m^→ ne sont pas colinéaires et donc (P) et (Q) se coupent selon une droite
ainsi l'ensemble (D) est une droite.
Soit u^→(a;b;c) un vecteur directeur de la droite (D) donc u^→⊥n^→ et u^→⊥m^→.

u^→ . n^→ = 0 et u^→ . m^→ = 0 Ou encore a+b+c=0 et a-b+c=0
on additionne membre à membre les deux membres des égalités
on obtient 2a+2c=0 ou encore a=-c
et on soustrait membre à membre les deux membres des égalités
on obtient 2b=0 ou encore b=0
donc u^→(-c;0;c) ou encore u^→=-ci^→+ck^→
d'où u^→=c(-i^→+k^→).

On pose w=-i^→+k^→ et puisque u^→ et w^→ sont colinéaires alors w^→(-1;0;1) est aussi un vecteur directeur de la droite (D).
2) (a) Pour déterminer un point A de la droite (D), il suffit de donner une valeur à z (z=-3) donc

{	x+y-3+1 = 0	⇔ {	x+y = 2
	x-y-3+3 = 0		x-y= 0

d'où (x+y)+(x-y)=2 ⇔ 2x=2 ⇔ x=1.
x-y=0 donc x=y ainsi y=1
alors A(1;1;-3).

(b) On déduit donc une représentation paramétrique de la droite (D)

{	x=1-t	t∈IR
	y=1
	z=-3+t

3) (a) (S) est une sphère de rayon 3 et de centre W(1;2;1)
donc M(x;y;z)∈(S) ⇔ WM=9
⇔WM²=9
⇔ (x-1)²+(y-2)²+(z-1)²=9.

Ainsi x²+y²+z²-2x-4y-2z-3=0 est une équation cartésienne de la sphère (S)0
3) Pour étudier la position relative de (D) et (S), il suffit de résoudre le système suivant

{	(x-1)²+(y-2)²+(z-1)²=9	t∈IR
	x=1-t
	y=1
	z=-3+t

En remplaçant les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation de (S)
on obtient
(1-t-1)²+(1-2)²+(-3+t-1)²=9

⇔ t²+1+t²-8t+16=9
⇔ 2t²-8t+8=0
⇔ t²-4t+4=0 ⇔ (t-2)=0
donc t=2 puis on remplace la valeur de t dans x ; y et z
on obtient x=-1; y=1 et z=-1
et donc (D) coupe la sphère en un seul point B(-1;1;-1)
et cela signifie que la droite (D) est tangente à la sphère (S) au point B.