1- الصيغة التحليلية للجداء السلمي

1.1 الصيغة التحليلية للجداء السلمي

1.1.1 المعلم المتعامد الممنظم

(O;i^→ ; j^→) معلم متعامد ممنظم اذا كان i^→⊥j^→ و ||i^→||=||j^→||
من الآن نعتبر المستوى منسوبا الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→)

1.1.2 تنعامد متجهتين

خاصية

لتكن u^→ و v^→ متجهتين من المستوى المتجهي V2
u^→ ⊥ v^→ ⇔ u^→.v^→=o^→

برهان

لدينا
u^→.v^→ =||u^→||×||v^→||cos(u^→;v^→)
اذن
u^→.v^→=0 ⇔ ||u^→||×||v^→||cos(u^→;v^→)=0

⇔ cos(u^→;v^→)=0 او ||u^→||=0 او ||v^→||=0
⇔ (u^→;v^→)≡π/2[π] أو u^→=0^→ أو v^→=0^→
اذن
u^→.v^→=0 ⇔ u^→⊥v^→
للتذكير المتحهة المنعدمة 0^→ متعامدمة مع كل متجهات المستوى

1.1.3 الجداء السلمي

لتكن u^→(a;b) و v^→(a';b') متجهتين من المستوى المتجهي
u^→.v^→ = aa'+bb'

برهان

لتكن u^→(a;b) و v^→(a;b') متجهتين من المستوى المتجهي V2
u^→.v^→ = (ai^→ + bj^→).(a'i^→ +b'j^→)
= aa'i^→.i^→+ab'i^→.j^→+ba'j^→ . i^→ + bb'j^→.j^→

وبما ان i^→.i^→=||i^→||²= 1 ; j^→ . j^→=||j^→||²=1
i^→ . j^→ = j^→.i^→= 0
فان u^→.v^→= aa' + bb'

1.1.4 امثلة

1) لتكن u^→(5;-2) و v^→(10;8)∈V2
u^→.v^→=5×10+(-2)×8=50-16= 34
2) لتكن u^→(-8;-2) ; v^→(3;-12)∈V2
u^→.v^→=-8×3 - 2×(-12)= 0
في هذه الحالة u^→⊥v^→

1.2 الصيغة التحليلية للمنظم

1.2.1 تعريف

منظم متجهة u^→ هو عدد حقيقي موجب ونرمز له ب ||u^→||
||u^→||= √(u^→ .u^→)

1.2.2 خاصية

لتكن u^→(a ; b)∈V2.
||u^→||= √(a² + b²)

1.2.3 امثلة

1) لتكن u^→(-5 ; 2)
||u^→||=√((-5)² + 2²) = √29
2) لتكن u^→(1 ; 3)
||u^→||=√(1² + 3²) = √4 = 2

1.2.4 الصيغة التحليلية للمسافة

خاصية

لتكن A(a ; b) و B(a' ; b') نقطتين من المستوى.
المسافة بين A و B نرمز لها ب AB
AB=||AB^→||= √((a'-a)²+(b'-b)²)

مثال

لتكن A(2 ; 5) و B(12 ; -15) نقطتين من المستوى
احسب AB

تصحيح

لدينا AB=√((12-2)² + (-15-5)²)
= √(100+400) = √500
=10√5

1.3 صيغة cosx وصيغة sinx

1.3.1 صيغة cosx

لتكن u^→;v^→∈V2 وغير منعدمتين و (u^→;v^→)≡x[2π]
u^→.v^→=||u^→||×||v^→||cosx

cosx=	u→.v→
	||u→ ||×||v→||

cosx=	aa'+bb
	√(a²+b²)√(a'²+b'²)

1.3.2 صيغة sina

لتكن u^→;v^→∈V2 وغير منعدمتين و (u^→;v^→)≡x[2π]

sinx=	det(u→;v→)
	||u→ ||×||v→||

sinx=	ab'-ba
	√(a²+b²)√(a'²+b'²)

تمرين 1

لتكن A(6;3) ; B(2 ; 1) و C(5 ; 1) نقطا من المستوى
1) احسب cos(AB^→ ; AC^→) و sin(AB^→ ; AC^→)
2) استنتج قياسا للزاوية (AB^→ ; AC^→)

تمرين 2

u^→ = 2i^→ + j^→ و v^→ = 5i^→ - 4j^→
حدد cos(u^→;v^→) ; sin(u^→;v^→)

1.3.3 مساحة مثلث

نعلم ان مساحة مثلث هي نصف متوازي اضلاع
ليكن (ABC) مثلثا و H المسقط العمودي للنقطة C على (AB)
اذن S=(0,5)AB×CH وبما ان

sinÂ=	det(AB→ ; AC→)
	||AB→||×||AC→||

فان S = (0,5)AB×AC sinÂ;
لدينا Â زاوية هندسية اذن AB×ACsinÂ=|det(AB^→;AC^→)|
ومنه فان S=(0,5)|det(AB^→;AC^→)|

خاصية

مساحة المثلث ABC معرفة كما يلي

S=	1	|det(AB→ ; AC→)|
	2

مساحة متوازي الاضلاع ABCD معرفة كما يلي S_p=|det(AB^→;AD^→)|

1.4 متفاوتة كوشي شوارتز Cauchy–Schwartz والمتفاوتة المثلثية

1.4.1 متفاوتة كوشي شوارتز Cauchy –Schwartz

لتكن u^→;v^→∈V2 و (u^→;v^→)≡x[2π]
|u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||

برهان

لدينا u^→ . v^→ =||u^→||×||v^→||cosx

وبما ان -1≤cosx≤1 فان
-||u^→||×||v^→||≤||u^→||×||v^→||cosx ≤ ||u^→ ||×||v^→||
( للتذكير |a|≤k ⇔ -k ≤a≤k, k>0)
اذن |u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||

1.4.2 المتفاوتة المثلثية

لتكن u^→;v^→ متجهتين
||u^→+v^→||≤||u^→||+||v^→||

برهان

||u^→+v^→||²=|| u^→ ||² + || v^→ ||²+2 u^→.v^→
وبما ان u^→.v^→≤|u^→.v^→| فان
||u^→+v^→||²≤||u^→||²+||v^→||²+2|u^→.v^→|
وحسب متفاوتة كوشي شوارتز Cauchy–Schwartz
|u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||
||u^→+v^→||²≤||u^→||²+||v^→||²+2||u^→||×||v^→||
||u^→+v^→||²≤(||u^→||+||v^→||)²
اذن ||u^→+v^→||≤||u^→||+||v^→||