2- مستقيم معرف بنقطة ومتجهة منظمية عليه

2.1 متجهة منظمية على مستقيم

2.1.1 تعريف

كل متجهة عمودية على متجهة موجهة لمستقيم تسمى متجهة منظمية على هذا المستقيم بتعبير آخر
لتكن u^→ متجهة موجهة ل (D)
n^→ متجهة منظمية على (D)
⇔ n^→.u^→= 0
n^→→| ↑u^→

2.1.2 نتائج

1) u^→(-b;a) متجهة موجهة ل (D) ⇔ n^→(a;b) متجهة منظمية على (D)
2) u^→(a;b) متجهة موجهة ل (D) ⇔ n^→(-b;a) متجهة منظمية على (D).

2.1.3 مثال

u^→(2;3) متجهة موجهة ل (D) اذن n^→(-3;2) متجهة منظمية على (D)

2.1.4 ملاحظة

اذا كانت n^→ متجهة منظمية على (D) فان ∀k∈IR*, kn^→ متجهة منظمية على (D)

2.2 مستقيم معرف بنقطة ومتجهة منظمية عليه

2.2.1 خاصية 1

معادلة ديكارتية لمستقيم (D) معرف بنقطة ومتجهة منظمية عليه n^→(a;b) تكتب على الشكل ax+by+c=0

برهان

ليكن (D) مستقيما مارا من A(xA;yA) و n^→(a;b) متجهة منظمية عليه
M(x;y)∈(D) ⇔n^→.AM^→= 0
⇔a(x-xa)+b(y-yA)=0
⇔ax+by+(-axA-byA)=0
نضع c=-axA-byA
اذن M(x;y)∈(D) ⇔ ax+by+c=0

2.2.2 خاصية 2

مجموعة النقط M(x;y) بحيث ax+by+c=0 مستقيم (D) و n^→(a;b) متجهة منظمية عليه

2.2.3 مثال

2x-5y+3=0 معادلة ديكارتية لمستقيم (D) و n^→(2;-5) متجهة منظمية عليه

2.2.4 خاصية 3

ليكن (D) و (Δ) مستقيمين n^→(a;b) و n'^→(a';b') متجهتين منظميتين عليهما على التوالي
(D)⊥(D')⇔n^→.n'^→= 0 ⇔aa'+bb'=0
(D)||(D') ⇔ det(n^→;n'^→)=0 ⇔ab'+a'b = 0

تمرين

نعتبر مستقيمين (D): 3x+y-3=0
و (D'): 4x-12y+1=0
بين ان (D)⊥(D')

تصحيح

n^→(3;1) متجهة منظمية على (D)
و n'^→(4;-12) متجهة منظمية على (D')
وبما ان n^→.n'^→ = 3×4 + 1×(-12) = 12-12 = 0
فان (D) ⊥ (D')

2.3 مسافة نقطة عن مستقيم

2.3.1 خاصية

ليكن (D) مستقيما معادلته ax+by+c=0 و A(xA;yA) نقطة من المستوى

	d(A;(D))=	|axA +byA +c|
		√(a²+b²)

برهان

ليكن (D) مستقيما و n^→ متجهة منظمية عليه و A(xA;yA)نقطة من المستوى و H المسقط العمودي ل A على (D)
d(A;(D))=AH
|n^→.AH^→|=||n^→||×||AH^→|| اذن

	AH=	|n→.AH→|
		||n→||

2.3.2 مثال

ليكن (D) مستقيما معادلته x+2y+3=0 و A(1;3) احسب مسافة A عن (D)

3- الدائرة

3. معادلة ديكارتية لدائرة

3.1 تعريف

دائرة مركزها Ω وشعاعها R هي مجموعة نقط المستوى التي تبعد عن المركز بنفس المسافة R

3.1.2 مثال

لتكن (C) دائرة مركزها Ω(2;3) وشعاعها R=5
M(x;y)∈C ⇔ ΩM = 5
⇔ √((x-2)² + (y-3)²) = 5
⇔ (x-2)²+(y-3)²=25
(x-2)²+(y-3)²=25 هي معادلة ديكارتية للدائرة (C) وتكتب ايضا على الشكل x²+y²-4x-6y-12=0

3.1.3 خاصية

لتكن (C) دائرة مركزها Ω(a;b) وشعاعها R
M(x;y)∈C ⇔(x-a)²+(y-b)²=R²

3.1.4 خاصية

معادلة ديكارتية لدائرة مركزها Ω(a;b) وشعاعها R
تكتب على الشكل (x-a)²+(y-b)²=R²
اي
x²+y²-2ax-2by+c=0 حيث
c=a²+b²-R²

تمرين

حدد معادلة ديكارتية للدائرة (C) مركزها Ω(3;-1) وشعاعها 3

تصحيح

M(x;y)∈C ⇔ ΩM =3
⇔ (x-3)²+(y+1)²=9
يمكن ان تكتب هذه المعادلة على الشكل
x²+y²-6x+2y+1=0

3.2 مجموعة النقط M(x,y) حيث x²+y²+ax+by+c=0

3.2.1 الشكل القانوني للتذكير

x²+ax=(x+	a	)²-	a²	=0
	2		4
y²+by=(y+	b	)²-	b²	=0
	2		4

اذن
x²+y²+ax+by+c=0 تكافئ

(x+	a	)²+(y+	b	)²=	a²+b²-4c
	2		2		4

3.2.2 خاصيات

لتكن (C) المجموعة {M(x,y)/x²+y²+ax+by+c=0}
اذا كان a²+b²-4c>0

فان (C) دائرة مركزها

Ω(	-a	;	-b	)
	2		2

وشعاعها

R=√(	a²+b²-4c	)
	4

a²+b²-4c=0 ⇒(C)=Ω
a²+b²-4c< 0 ⇒(C)=∅

تمرين 1

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²+2x+4y+3=0 هل (C) دائرة ?

تمرين 2

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²-3x+2y+4=0 هل (C) دائرة ?