1- Expression analytique du produit scalaire

1.1 Expression analytique du produit scalaire

1.1.1 Repère orthonormé

Soient i^→ ; j^→ deux vecteurs non colinéaires et O un point du plan P.
(O;i^→ ; j^→) est un repère orthonormé
si i^→⊥j^→ et ||i^→||=||j^→||=1.

Désormais le plan est raporté au repère orthonormé (O;i^→;j^→).

1.1.2 Orthogonalité de deux vecteurs

Propriété
Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
u^→⊥v^→ ⇔ u^→.v^→=0.

Démonstration
u^→.v^→ =||u^→||×||v^→||cos(u^→;v^→).

Donc u^→.v^→=0 ⇔
||u^→||×||v^→||cos(u^→;v^→)=0
⇔ cos(u^→;v^→)=0 ou ||u^→||=0 ou ||v^→||=0
ou encore u^→.v^→=0 ⇔
⇔ (u^→;v^→)≡π/2[π] ou u^→=0^→ ou v^→=0^→
⇔ u^→⊥v^→.
Notons que le vecteur 0^→ est orthogonal à tout vecteur du plan.

1.1.3 Produit scalaire

Soient u^→(a;b) et v^→(a';b') deux vecteurs.
u^→.v^→ = aa'+bb'.

Demonstration
u^→.v^→=(ai^→+bj^→).(a'i^→ +b'j^→)
= aa'i^→.i^→+ab'i^→.j^→+ba'j^→ . i^→ + bb'j^→.j^→.
Puisque i^→.i^→=||i^→||²=1
j^→.j^→=||j^→||²=1 et i^→ . j^→ =j^→.i^→=0
alors u^→.v^→= aa' + bb'.

Exemples
1) Soient u^→(5;-3) et v^→(4;7) deux vecteurs.
u^→.v^→=5×4+(-3)×7=20-21= 1.
2) Soient u^→(-8;-2) et v^→(3;-12) deux vecteurs.
u^→.v^→=-8×3 - 2×(-12)
donc u^→.v^→=0.
Dans ce cas u^→ et v^→ sont orthogonaux et on écrit u^→⊥v^→.

1.2 Expression analytique de la norme

1.2.1 Définition

La norme d'un vecteur u^→ est un nombre positif, notée ||u^→|| et défini par
||u^→||=√(u^→.u^→).

1.2.2 Propriété

Soit u^→(a ; b) un vecteur.
||u^→||= √(a² + b²).

Exemple
Soient u^→(-5 ; 2) un vecteur.
||u^→||=√((-5)² + 2²) = √29.

1.2.3 Expression analytique de la distance

Propriété
Soient A(a ; b) et B(a' ; b') deux points du plan. La distance de A à B, notée AB est définie par
AB=||AB^→||= √((a'-a)²+(b'-b)²).

Exemple
Soient A(2 ; 5) et B(12 ; -15) deux points du plan.
Calculer la distance AB.

Correction
AB=√((12-2)² + (-15-5)²)
= √(100+400) = √500
=10√5
ainsi AB=10√(5).