1.3 Expressions de cosx et de sinx

1.3.1 Expression de cosx

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs non nuls et (u^→;v^→)≡x[2π].
u^→.v^→=||u^→||×||v^→||cosx

⇔ cosx =	u→.v→
	||u→ ||×||v→||

donc cosx =	aa'+bb
	√(a²+b²)√(a'²+b'²)

1.3.2 Expression de sina

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs non nuls et (u^→;v^→)≡x[2π].

sinx =	det(u→;v→)
	||u→ ||×||v→||

ou encore

sinx =	ab'-ba
	√(a²+b²)√(a'²+b'²)

Exercice 1 tp

Soient A(3;1) ; B(1;3) و C(1;1) trois points.
Calculer cos(AB^→;AC^→)
et sin(AB^→;AC^→) et déduire une mesure de l'angle orienté (AB;AC).

Correction

On a AB^→(-2;2) ; AC^→(-2;0).
AB^→.AC^→=(-2)²+2.0=4 ; det(AB^→;AC^→)=-2.0 -2.(-2)=4
AB=√(4+4)=2√2 et AC=√((-2)²+0²)=2

donc cosx =	AB→.AC→	=	4
	||AB→ ||×||AC→||		2√(2)×2

ainsi cosx =	√(2)
	2

sinx =	det(AB→;AC→)	=	4
	||AB→ ||×||AC→||		2√(2)×2

donc sinx =	√(2)
	2

ainsi (AB;AC)≡	π	[2π]
	4

Exercice 2

Soient u^→=2i^→+j^→ et v^→=5i^→-4j^→ deux vecteurs.
1) Déterminer cos(u^→;v^→).
2) Déterminer sin(u^→;v^→).

1.3.3 L'aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire d'un parallélogramme.
Soient (ABC) un triangle et H le projeté orthogonal de C sur (AB)

Donc S =	AB×CH
	2

puisque

sin =	det(AB→ ; AC→)
	||AB→||×||AC→||

alors

S =	AB×AC.sinÂ
	2

or  est un angle géométrique
donc AB×ACsinÂ=|det(AB^→;AC^→)|

Et donc

S =	|det(AB→;AC→)|
	2

Propriétés
1) L'aire d'un triangel ABC

S =	1	|det(AB→ ; AC→)|
	2

2) L'aire d'un parallélogramme ABCD S_p=|det(AB^→;AD^→)|.

Exemple
1) Montrer que les points A(-3;3); B(-2;2) et C(7;1) ne sont pas alignés.
2) Calculer l'aire du triangle ABC.

Correction
1) On a AB^→(1;-1) et AC^→(10;-2).
A ; B et C sont alignés ⇔ (∃k∈IR): AC^→=kAB^→
⇔ (10=k et -2=-k) et ce n'est pas possible donc A ; B et C ne sont pas alignés.

2) S =	|1.(-2)-(-1).10|	= 4 UA
	2