3.3 معادلة مماس لدائرة في نقطة

لتكن (C) دائرة مركزها Ω ومعادلتها x²+y²+ax+by+c=0 و (D) مماسا لها في A

Ω(	-a	;	-b	)
	2		2

R=√(	a²+b²-4c	)
	4

M(x;y)∈(D) ⇔ AM^→.ΩM^→=0
⇔

(x-xA)(x+	a	)+(y-yA)(y+	b	)=0
	2		2

خاصية

لتكن (C) دائرة و x²+y²+ax+by+c=0 معادلة ديكارتية له و A(xA;yA)∈(C) معادلة مماس الدائرة (C) في النقطة A معرفة كما يلي

(x-xA)(x+	a	)+(y-yA)(y+	b	)=0
	2		2

تمرين

حدد مماس الدائرة التي مركزها Ω(-2;1) وشعاعها R=3 في النقطة A(-2;4).

3.4 دائرة معرف بثلاث نقط غير مستقيمية

3.4.1 خاصية

E ; F و G ثلاث نقط غير مستقيمية
مركز الدائرة المحيطة بالمثلث (EFG) هي نقطة تقاطع واسطات المثلث وشعاعها المسافة ΩE = ΩF = ΩG

3.4.2 مثال

E(-1;-1);F(-3;1) و G(2;2) ثلاث نقط
1) تحقق ان E ; F و G غير مستقيمية
2) تحقق ان G'(-2;0) منتصف القطعة [EF]
3) بين ان x-y+2=0 هي معادلة الواسط المار من G'
4) بين ان x+y-1=0 هي معادلة الواسط المار من منتصف القطعة [EG]
5) حل النظمة اسفله واستنتج معادلة الدائرة (C)

{
	x - y + 2 = 0
	x + y - 1 = 0

3.5 دائرة معرفة باحد اقطارها

خاصية

لتكن (C) دائرة احد اقطارها [AB]
M(x;y)∈C ⇔ AM^→.BM^→ = 0
⇔ (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0

4- الاوضاع النسبية لدائرة ومستقيم

خاصية

(D) مستقيم و (C) دائرة مركزها Ω وشعاعها R
توجد ثلاث وضعيات
اذا كانت d(Ω;(D))> R فان (D) لا يقطع (C)
اذا كانت d(Ω;(D))< R فان (D) يقطع (C) في نقطتين
اذا كانت d(Ω;(D))= R فان (D) يقطع (C) في نقطة واحدة
في هذه الحالة يكون (D) مماسا للدائرة (C)

5- تمثيل بارامتري لدائرة

5.1 الدائرة C(O;R) حيث O(0;0)

نضع θ ≡ (i^→;OM^→), اذن

M(x;y)∈(C)⇔ {	x=Rcosθ
	y=Rsinθ

5.2 الدائرة C(Ω;R) حيث Ω(a;b)

(للتذكير cos²x+sin²x=1)
M(x;y)∈(C) ⇔(x-a)²+(y-b)²=R²

⇔(	x-a	)² + (	y-b	)² =1
	R		R

⇔ ∃θ∈IR

x-a	= cosθ و	y-b	= sinθ
R		R

θ ≡ (i^→;ΩM^→) اذن

M(x;y)∈(C)⇔{	x=a+Rcosθ	; θ∈IR
	y=b+Rsinθ

هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للدائرة (C)

مثال

تمثيل بارامتري للدائرة C التي مركزها I(-2 ; 5) وشعاعها R=3 هي النظمة التالية

{	x = -2 + 3cosθ	; θ∈IR
	y = 5 + 3sinθ