1.4 Inégalité de Cauchy–Schwartz et inégalité triangulaire

1.4.1 Inégalité de Cauchy–Schwartz

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs et (u^→;v^→)≡x[2π].
|u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||.

Démonstration
On a u^→.v^→=||u^→||×||v^→||cosx
et puisque -1≤cosx≤1 alors
-||u^→||×||v^→||≤||u^→||×||v^→||cosx≤||u^→||×||v^→||.
(Notons que |a|≤k ⇔ -k≤a≤k( k>0)).
Et donc |u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||.

1.4.2 Inégalité triangulaire

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
||u^→+v^→||≤||u^→||+||v^→||.

Démonstration
||u^→+v^→||²=||u^→||²+||v^→||²+2u^→.v^→
puisque u^→.v^→≤|u^→.v^→|
alors ||u^→+v^→||²≤||u^→||²+||v^→||²+2|u^→.v^→|

D'après l'Inégalité de Cauchy–Schwartz
|u^→.v^→|≤||u^→||×||v^→||
||u^→+v^→||²≤||u^→||²+||v^→||²+2||u^→||×||v^→||
||u^→+v^→||²≤(||u^→||+||v^→||)²
ainsi ||u^→+v^→||≤||u^→||+||v^→||.