Produit scalaire (5)
2.3 Distance d’un point à une droite
2.3.1 Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère une droite (D)
d'équation ax+by+c=0 et A(xA;yA) un point du plan ℙ.
| d(A;(D)) = | |axA +byA +c| |
| √(a²+b²) |
Démonstration
Soient (D) une droite de vecteur normal n→ ; A(xA;yA) un point du plan et H le projeté orthogonal de A sur (D).
d(A;(D))=AH.
|n→.AH→|=||n→||×||AH→||
| et donc | AH = | |n→.AH→| |
| ||n→|| |
2.3.2 Exemple
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère
une droite (D)
d'équation 2x+y-3=0 et A(4;5) un point du plan ℙ.
Calculer la distance de A à (D).
Correction
| d(A;(D)) = | |2.4+5-3| | = | 10 |
| √(2²+1²) | √(5) |
ainsi d(A;(D))=2√(5).