Produit scalaire (6)
3- Cercle
3.1 Equation cartésienne d’un cercle
3.1.1 Définition
3.1.1 Définition
Un cercle de centre Ω et de rayon R est un ensemble de points du plan situés à la même distance R du centre et est noté C(Ω;R) ou (C).
Exemple
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→).
Soit (C) un cercle de centre Ω(2;1)
et de rayon R=5.
M(x;y)∈C ⇔ ΩM=5
⇔ √((x-2)² + (y-1)²) = 5
⇔ (x-2)²+(y-1)²=25.
L'équation (x-2)²+(y-1)²=25 est une
équation cartésienne
du cercle (C).
cette équation peut s'écrire sous la forme
x²+y²-4x-2y-20=0.
3.1.2 Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
M(x;y)∈C ⇔(x-a)²+(y-b)²=R².
3.1.3 Prorpiété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). L'équation cartésienne d'un cercle de centre Ω(a;b) et de rayon R est de la forme
(x-a)²+(y-b)²=R².
Remarque
(x-a)²+(y-b)²=R² ⇔ x²+y²-2ax-2by+c=0
tel que (c=a²+b²-R²).
Exercice 1 tp
Détérminer une équation cartésienne d'un cercle (C) de centre Ω(2;-1) et de rayon 3.
Correction
M(x;y)∈C ⇔ ΩM=3
⇔ (x-2)²+(y+1)²=9
cette équation peut
s'écrire comme suit
x²+y²-4x+2y-4=0.
3.1.4 Cercle défini par trois points non alignés
Propriété
Soient E ; F et G trois points non alignés.
Le centre du cercle circonscrit au triangle (EFG) est le point de rencontre des médiatrices du triangle
et son rayon est la distance ΩE=ΩF=ΩG.
Exercice 2 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère trois points
E(-1;-1);F(-3;1) et G(2;2).
1) Vérifier que E ; F et G ne sont pas alignés.
2) Vérifier que G'(-2;0) est le milieu du segment [EF].
3) Montrer que x-y+2=0 est une équation de la médiatrice passant par G'.
4) Montrer que x+y-1=0 est une équation de la médiatrice passant par le milieu du segment [EG].
5) Résoudre le système ci-dessous et déduire l'équation du cercle (C) circonscrit au triangle (EFG).
{ |
x - y + 2 = 0 |
x + y - 1 = 0 |
3.1.5 Cercle défini par un diamétre
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→).
On considère un cercle (C) de diamétre [AB].
M(x;y)∈C ⇔ AM→.BM→=0
⇔ (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0.