تمرين 13 tp

ليكن (D) مستقيما معادلته x-2y+2=0
1) تحقق ان النقطة A(0;1)∈(D)
2) حدد معادلتي الدائرتين المماستين للمستقيم (D) عند النقطة A وشعاعهما √(5)
3) انشئ الشكل

تصحيح

1) 0-2.1+2=-2+2=0 ⇒ A∈(D)
2) نرمز لاحدى الدائرتين ب (C1) ومركزها G1(x;y)
ولدينا (AG1)⊥(D) اذن جداء ميلهما mm1=-1⇒m1=-2<
AG1=√(5)⇔ (x-0)²+(y-1)²=5
⇔x²+y²-2y-4=0 , (1)

نحدد معادلة المستقيم (AG1)
(AG1): y=-2x+p وبما ان A∈(AG1) فان
1=-2.0+p⇒ p=1
(AG1): 2x+y-1=0 , (2)
اذن الزوج (x;y) يحقق النظمة التالية

{	x²+y²-2y-4=0
	2x+y-1=0
⇒ {	x²+(1-2x)²-2(1-2x)-4=0
	y=1-2x
⇒ {	5x²=5
	y=1-2x

⇒ {	x=1 ∨ x=-1
	y=1-2x

⇒ {	x=1 ∧ y=-1
	∨ x=-1 ∧ y=3

وبالتالي الدائرتين المماستين للمستقيم (D) عند النقطة A احداهما (C1) مركزها G1(1;-1) وشعاعها √(5)
والثانية (C2) مركزها G2(-1;3) وشعاعها √(5)
3)

تمرين 14 tp

لتكن (C) دائرة مركزها G(2;-1) شعاعها √(2) و E(5;0) نقطة من المستوى
1) (q1) حدد معادلة ديكارتية للدائرة (C)
(q2) تحقق ان E خارج الدائرة (C)
2) انشئ الدائر (C)
3) حدد معادلتي المماسين للدائرة (C) والمارين من النقطة E

تصحيح

1) (q1) M(x;y)∈(C) ⇔ GM=√(2)
⇔ (x-2)²+(y+1)²=2
⇔ x²+y²-4x+2y+3=0
(C): x²+y²-4x+2y+3=0
(q2) E(5;0)∈ext(C) , 5²-20+3=8>0

2) 3) نرمز لاحد المماسين ب (T1) عند النقطة A(x;y)
لدينا (GA)⊥(T1) اذن
EA^→.GA^→=0
⇔ (x-2)(x-5)+(y+1)y=0
⇔ x²+y²-7x+y+10=0 , (1)

وهذا يعني ان النقطة A تنتمي الى الدائرة (C2) التي مركزها I(3,5 ; -0,5) بالاضافة الى الدائرة (C)
اذن زوج احداثيتي A يحقق النظمة التالية

{	x²+y²-4x+2y+3=0 , (1)
	x²+y²-7x+y+10=0 , (2)

نطرح المتساويتين طرفا طرفا (1)-(2) نحصل على المعادلة 3x+y-7=0 ⇔ y=-3x+7, (3) نعوض في المعادلة (1) او (2) فنحصل على
x²+(-3x+7)²-4x+2(-3x+7)+3=0
⇔ 5x²-26x+33=0
نحل هذه المعادلة Δ=16 >0

x1=	22	=	11
	10		5
x2=	30	= 3
	10

(i1) x=3⇒ y=-9+7=-2
(T1) مماس للدائرة (C1) عند النقطة A(3 ; -2)
نحدد معادلة (T1)=(EA)
M(x;y)∈(T1)⇔ det(EM;EA)=0
(x-5).(-2)-(y-0).(-2)=0
⇔ -2x+2y+10=0
(T1): x-y-5=0
(i2) لدينا

x=	11	⇒	y=	2
	5			5

(T2) مماس للدائرة (C1) عند النقطة

B(	11	;	2	)
	5		5

نحدد بنفس الطريقة السابقة , معادلة (T2)=(EB)
M(x;y)∈(T1)⇔ det(EM;EB)=0

(x-5)	2	-(y-0).	-14	= 0
	5		5
2	x +	14	y -	10	= 0
5		5		5

(T2): x+7y-5=0

تمرين 15 tp

حدد تمثيلا بارامتريا للدائرة التي مركزها I(-2 ; 5) وشعاعها R=3

تصحيح

تمثيل بارامتري للدائرة C التي مركزها I(-2 ; 5) وشعاعها R=3 هي النظمة التالية

{	x = -2 + 3cosθ	; θ∈IR
	y = 5 + 3sinθ