Exercice 3.1 tp

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→), on considère une droite (D) définie par

{	x+2z+2=0
	2x-y+2z+4=0

1) Déterminer un vecteur directeur de la droite (D)
2) Vérifier que A(0;2;-1)∈(D)
3) Calculer la distance du point Ω(-1;2;0) à (D)

4) Déduire une équation cartésienne de la sphère (S) de centre Ω pour que la droite (D) lui soit tangente et déterminer H, le point de la tangente

Correction

1) x+2z+2=0 est une équation d'un plan noté P et n^→(1;0;2) son vecteur normal
2x-y+2z+4=0 est une équation d'un plan, noté Q et m^→(2;-1;2) son vecteur normal
si m^→=kn^→ alors 2=k ; -1=0 et 1=k, ce n'est pas possible donc n et m ne sont pas colinéaires et donc la droite (D) est bien définie, P∩Q=(D)

Et n^→∧m^→=u^→ est un vecteur directeur de la droite (D)
2) D'une part 0+2.(-1)+2=0 donc A∈P
D'autre part 2.0-2+2.(-1)+4=0 donc A∈Q
alors A∈P∩Q=(D)
Propriété: Soient P et Q deux plans se coupent selon une droite (D)
et (Δ1) et (Δ2) deux droites
Si (Δ1)⊥P et (Δ2)⊥Q alors (D)⊥(Δ1) et (D)⊥(Δ2)

On détermine le vecteur u^→

n→∧m→ =	i→	1	2	=
	j→	0	-1
	k→	2	2

	0	-1	i→	-		1	2	j→
	2	2				2	2

+	1	2	k→
	0	-1

=2i^→+2j^→-k^→ donc n^→∧m^→(2;2;-1)
ainsi u^→(2;2;-1)
3) A savoir la distance d'un point B à une droite D(A;u^→) est définie par

d(B;(D)) =	|| AB→∧u→ ||
	||u→||

Donc

d(Ω;(D)) =	|| AΩ→∧u→ ||
	||u→||

AΩ→∧u→ =	i→	-1	2	=
	j→	0	2
	k→	1	-1

	0	2	i→	-		-1	2	j→
	1	-1				1	-1

+	-1	2	k→
	0	2

=-2i^→+j^→-2k^→ donc AΩ^→∧u^→(-2;1;-2)

Ainsi d(Ω;(D)) = 3÷3=1
4) (D) tangente à (S) signifie R=d(Ω;(D))
donc (x+1)²+(y-2)²+z²=1
ou encore x²+y²+z²+2x-4y+4=0 est une équation cartésienne de la sphère (S) de centre Ω et de rayon R=1
Pour déterminer H il suffit de résoudre le système

{	x²+y²+z²+2x-4y+4= 0	(t∈IR)
	x=0+2t
	y=2+2t
	z=-1-t

On remplace les valeurs de x ; y et z dans l'équation de la sphère, on obtient
(3t+1)²=0 ou encore t=-1÷3 donc

H(	-2	;	4	;	-2	)
	3		3		3